Hola:
La parte (i) pregunta si existe una fórmula γ ∈ PROP que cumpla:
- ⊭ γ (γ no es tautología)
- ⊭ ¬γ (γ no es contradicción)
- (β → γ) → (α → γ) ⊨ α → γ (cualesquiera sean α y β)
Notar que 1 y 2 equivale a que γ es una contingencia.
Para este caso, vemos que 3) se cumple para cualqier γ. Esto se puede probar haciendo la derivación o por tableau. Para probar la existencia de γ alcanza con dar una tautología cualquiera.
La parte (ii) pregunta si existe una fórmula γ ∈ PROP que cumpla:
- ⊭ γ (γ no es tautología)
- ⊭ ¬γ (γ no es contradicción)
- (β → γ) → (α → γ) ⊨ α → β (cualesquiera sean α y β)
En este caso, vemos que la 3 no necesariamente se cumple. Podemos hacer un tableau y ver que no se cumple para una valuación v:
- v(α) = 1
- v(β) = 0
- v(γ) = 1
Ya que en este caso: v(α → β) = 0 y v((β → γ) → (α → γ) = 1
Queremos probar que (ii) no se cumple, entonces lo que necesitamos probar es la negación de esta afirmación:
- Para todo γ que sea contingencia:
- existe α y β tales que no se cumple 3
Para probar esto: mostramos que cualquiera sea γ (contingencia) siempre podemos encontrar α y β y v valuación que cumplan
- v(α) = 1
- v(β) = 0
- v(γ) = 1
Si no se entiende el planteo, volvé a preguntar.