primer parcial 2011 ej 2b

primer parcial 2011 ej 2b

de Mayte Celia Carro Valle -
Número de respuestas: 1

Buenas, se animarían a explicarme este ejercicio que no me doy cuenta como resolverlo. Gracias

.

En respuesta a Mayte Celia Carro Valle

Re: primer parcial 2011 ej 2b

de Guillermo Calderon - InCo -

Hola:

La parte (i) pregunta si existe una fórmula γ ∈ PROP que cumpla:

  1. ⊭ γ (γ no es tautología)
  2. ⊭ ¬γ (γ no es contradicción)
  3. (β → γ) → (α → γ) ⊨ α → γ (cualesquiera sean α y β)

Notar que 1 y 2 equivale a que γ es una contingencia.

Para este caso, vemos que 3) se cumple para cualqier γ. Esto se puede probar haciendo la derivación o por tableau. Para probar la existencia de γ alcanza con dar una tautología cualquiera.

La parte (ii) pregunta si existe una fórmula γ ∈ PROP que cumpla:

  1. ⊭ γ (γ no es tautología)
  2. ⊭ ¬γ (γ no es contradicción)
  3. (β → γ) → (α → γ) ⊨ α → β (cualesquiera sean α y β)

En este caso, vemos que la 3 no necesariamente se cumple. Podemos hacer un tableau y ver que no se cumple para una valuación v:

  • v(α) = 1
  • v(β) = 0
  • v(γ) = 1

Ya que en este caso: v(α → β) = 0 y v((β → γ) → (α → γ) = 1

Queremos probar que (ii) no se cumple, entonces lo que necesitamos probar es la negación de esta afirmación:

  • Para todo γ que sea contingencia:
    • existe α y β tales que no se cumple 3

Para probar esto: mostramos que cualquiera sea γ (contingencia) siempre podemos encontrar α y β y v valuación que cumplan

  • v(α) = 1
  • v(β) = 0
  • v(γ) = 1

Si no se entiende el planteo, volvé a preguntar.