Hola, ¡excelente observación!
Efectivamente, los "efectos dinámicos" se "extinguen" si se llega a un punto estacionario (t tiende a infinito, s tiende a cero) y entonces se ve claramente que es la relación entre la respuesta y el estímulo, cuando este último se ajusta a un nuevo valor. Transcribo textualmente del libro de Seaborg et al.: "The steady-state gain is the ratio of the output variable change to an input variable change when the input is adjusted to a new value and held there, thus allowing the process to reach a new steady state." O sea, típicamente tendemos que pensar qué pasa cuándo hay un salto en escalón a la entrada. (La entrada podría ser oscilatoria y esto conduce a una respuesta oscilatoria; lo veremos en el estudio en el dominio de la frecuencia).
En general, cualquier sistema cuya G(s) sea un cociente de polinomios en s (el orden del numerador menor o igual al del denominador), si el sistema converge (y esto está dado por el signo negativo de la parte real de los polos) "se extinguirán los efectos dinámicos" y en última instancia la relación entre el cambio en la salida respecto al cambio (sostenido) en la entrada nos da la ganancia. El caso límite sería cuando la parte real es cero, y el sistema no converge hacia un punto sino que oscila en una trayectoria cerrada.
Si el propio sistema es oscilante, entonces no hay un punto estacionario (estable), aunque la respuesta esté acotada. Esto es consecuencia de la no linealidad del sistema (p.ej. los sistemas de tipo predador-presa); en este caso, si queremos controlar en torno a un punto linealizamos el sistema y recién aquí aparece la G(s) (el estudio en el dominio de Laplace presupone sistemas lineales), pero esto supone que nos movemos solo en un entorno donde es válida la linealidad.