Foro práctico 6

Recordás el teorema de los ceros? El mismo tiene un corolario inmediato que dice que si tenés dos funciones holomorfas $f:\Omega \to \mathbb{C}$ y $g:\Omega \to \mathbb{C}$ con $\Omega$ abierto y conexo, y tal que el conjunto $K = \{z \in \Omega: f(z) = g(z)\}$ tiene un punto de acumulación en $\Omega$ entonces al final la función $f$ y $g$ son iguales, es decir, $f(z) = g(z) \ \forall z \in \Omega$ (es decir, al final $K = \Omega$).

Nota que el conjunto $K$ es el conjunto de puntos donde las funciones son iguales. Lo que esta diciendo el párrafo anterior es que si el conjunto $K$ "es grande en $\Omega$ " entonces al final es todo $\Omega$.

Volviendo al ejercicio, en este caso $\Omega = \mathbb{C}$ y $K \supset \mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ tiene un punto de acumulación en $\mathbb{C}$ entonces cualquiera dos funciones que coincidan en $\mathbb{R}$ al final son iguales! y por lo tanto hay una sola función que valga $e^x$ en el eje real.

Contame si quedo un poco más claro, sino le buscamos otras palabras.

Saludos