CDIVV - 1S: Ejercicio 4)b

Llegué, mediante cambio de variable, a que $\int_{1}^{+\infty} \frac{sin(x)}{\sqrt{x}}\ dx = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{1}^{x}\frac{sin(t)}{\sqrt{t}}\ dt = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2\int_{1}^{x} sin(u^2)\ du$ y ahí me tranqué porque esa integral da cualquier cosa. Si me pueden tirar alguna ayuda se agradece.

Re: Ejercicio 4)b

de Usuario eliminado - martes, 19 de abril de 2022, 15:53

Buenas,
Con un truco de mutiplicar y dividir por

$2u$ , podés aplicar partes. Ahí te dá que:

$\displaystyle \int_1^\sqrt{x} \sin(u^2)du = \displaystyle \int_1^\sqrt{x} 2u\sin(u^2)\frac{1}{2u}du = -\left( \frac{\cos(u^2)}{2u} \right) \left.\right|_1^{\sqrt{x}} - \displaystyle \frac{1}{2} \int_1^\sqrt{x} \frac{\cos(u^2)}{u^2} du$

Tomando el límite con

$x\rightarrow +\infty$ esto converge, dado que el último integral converge absolutamente.

Saludos,

Rodrigo