Foro Práctico I

Hola,
La respuesta de Valentina está esencialmente bien. La idea clave es la siguiente: supongamos que yo quiero hallar la derivada de los versores de una base, del punto de vista de un sistema de referencia $S$. Es decir quiero calcular algo del estilo

$\frac{\partial^{(S)} \hat{i} }{dt} =?$

donde crucialmente la $\partial^{(S)}$ denota que la derivada se est\'a haciendo del punto de vista del sistema $S$. Entonces la forma de hacerlo es encontrar un sistema de referencia $S'$ en el cual los versores est'an en reposo (ej, en la notaci'on que estoy usando esto quiere decir $\frac{\partial^{(S')} \hat{i} }{dt} =?$). Sea $\vec{\omega}$ la velocidad angular de $S'$ respecto a $S$. Entonces se cumple que 

$\frac{\partial^{(S)} \hat{i} }{dt} =\omega \times \hat{i}$.

Para aplicarlo en este ejercicio hay que hacer básicamente lo que dijo valentina. Para derivar $\hat{e}_{\rho}$ y $\hat{e}_{\varphi}$ respecto al tiempo del punto de vista del sistema fijo, usando la f'ormula, hay que ver con que velocidad angular se mueve esta base de versores (o lo que es lo mismo, con que velocidad angular se mueve un sistema de referencia que los ve inm'oviles) respecto al sistema fijo. Esa velocidad angular es simplemente $\vec{\omega}=\dot{phi}\hat{k}$.

Cuando vamos a derivar $\hat{e}_{\rho}$ y $\hat{e}_{\varphi}$ respecto al sistema fijo es la misma idea, teniendo cuidado que la velocidad con la que rotan estos versores respecto al sistema fijo es distinta que en el caso anterior. en este caso tenemos $\vec{\omega}=(\dot{phi}+\dot{\theta})\hat{k}$.

Si no te resulta evidente por qu'e son estas las velocidades angulares, no dudes en preguntarlo y vemos la explicación más en detalle.

Por cierto, otra forma de hacer esto es proyectar todos los versores en una base de versores fija del punto de vista del sistema fijo. Ahí hacer las derivadas es bastante fácil: sólo es necesario derivar las componentes.

En fin, espero que esto les sirva, de lo contrario no duden en volver a preguntar.

saludos

Guzmán