segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Josefina Cardozo Gonçalves -
Número de respuestas: 6


Hola, en este ejercicio cuando calculo el limite de g por polares me da 0, pero en la solucion dice que no existe, no entiendo que es lo que esta mal y si quiza no se puede calcular por polares, gracias


En respuesta a Josefina Cardozo Gonçalves

Re: segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Thiago Caetano Acuña Vinoles -

\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^3-y^3} = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho ^4 (cos^2(\theta)sin^2(\theta))}{\rho ^3 (cos^3(\theta)-sin^3(\theta))} = \lim_{\rho \rightarrow 0}\rho\frac{sin^2(\theta)cos^2(\theta) }{cos^3(\theta)-sin^3(\theta)}

Y  \frac{sin^2(\theta)cos^2(\theta) }{cos^3(\theta)-sin^3(\theta)} no está acotado.
En respuesta a Josefina Cardozo Gonçalves

Re: segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Bernardo Marenco -

Hola. Al pasar el límite a polares queda \displaystyle \rho \frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{\cos^3\theta - \sin^3\theta}. Acordate que para asegurar que el límite da 0 con polares precisás poder escribir al límite como algo de la forma r(\rho)h(\theta), con r(\rho) \to 0 cuando \rho \to 0 y h(\theta) una función acotada. En este caso r(\rho) = \rho, que tiende a 0 con \rho, pero \displaystyle h(\theta) = \frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{\cos^3\theta - \sin^3\theta} no es una función acotada (en particular, en los puntos donde \sin \theta = \cos\theta se va a infinito). Por eso no sirve usar polares en este caso.

Saludos
En respuesta a Bernardo Marenco

Re: segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Jessica Sista Arriola -
Buenas, yo tengo duda sobre este ejercicio también. En particular no se como darme cuenta que
1. tengo que usar una curva
2. que curva usar
quisiera saber si hay algún método para saberlo o que se utiliza, muchas gracias.

Y además, viendo la función g, me surgió la duda de si se puede usar límites direccionales con las funciones partidas, y en caso de que si, ¿tendría que hacer 4 límites y si uno es distinto el límite de la función ya no existe?
En respuesta a Jessica Sista Arriola

Re: segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Bernardo Marenco -

Hola. Para la pregunta 1, en general lo que pasa es que primero probás hacer el límite por rectas (o polares, que en el fondo es mirar por rectas). Si el límite da distinto entre distintas rectas entonces podés afirmar que el límite no existe, pero si da lo mismo por cualquier recta eso no te alcanza para probar que el límite existe. Ahí es cuando probás con alguna otra curva.

Para la segunda pregunta no hay una respuesta general. Qué curva probar depende de la función que estés considerando, y en general cómo elegirla depende de la experiencia previa. En ese sentido, es similar a cuando estás buscando la primitiva de alguna función: ahí no hay una regla explícita sobre qué método (partes, cambio de variable, etc) probar, la experiencia con otros ejercicios y la "pinta" de la función te dan intuición sobre qué método probar. En este caso, la idea es que la función \displaystyle \frac{x^2y^2}{x^3-y^3} se va a infinito sobre la recta y=x. Si te fijás, la curva y=x+x^2 en (0,0) es tangente a la recta y=x: la idea de considerar esa curva es justamente acercarte a (0,0) de una forma que sea parecida a y=x.

En esta pregunta "¿tendría que hacer 4 límites y si uno es distinto el límite de la función ya no existe?" no entendí a qué cuatro límites te referís. Límites direccionales se puede usar para cualquier función.

Saludos
En respuesta a Bernardo Marenco

Re: segundo parcial segundo semestre 2020 ejercicio 2

de Jessica Sista Arriola -
Muchas gracias, ahora si me quedo claro. Los limites que me refería era con x tendiendo a 0 en una función y en otra (de las que forman ala función partida) y lo mismo para y.