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Buenas.
Como dice Nahuel, la expresión $y(x,t)=Asen(kx)cos(\omega t)$ representa una onda estacionaria que correctamente puede describir la del ejercicio, ya que en el ejercicio el eje x es tal que su origen se encuentra en uno de los extremos fijos de la cuerda, por lo que se cumple la condición de borde $y(x=0,t)=0$ para todo tiempo (nodo en el extremo fijo). Sin embargo, en la letra se pregunta si la onda $y(x,t)=Acos(kx)sen(\omega t)$ puede ser la onda estacionaria que se genera en esa cuerda de guitarra. La respuesta es que no, porque, si bien se trata de una onda estacionaria, esta no cumple la condición de borde en $x=0$, ya que $y(x=0,t)=Asen(\omega t)\neq 0$.

Por otro lado, el alfa $\alpha$ que mencionás no es un alfa, sino un signo de proporcionalidad $\propto$, el cual se suele utilizar cuando, para el razonamiento que estamos haciendo, no nos interesa particularmente la constante de proporcionalidad y la obviamos.
El $y'(x,t)=Asen(kx)cos(\omega t)$ está en la solución para mostrar la forma correcta que tiene que tener la onda estacionaria para que cumpla la condición de borde en $x=0$, le ponen el prima solo para diferenciarla del $y(x,t)$ que se dio en la letra.

Espero que esto haya ayudado un poco más a aclarar las dudas.

Saludos.