Buenas, no se me ocurre como hacerlo este ejercicio, ¿alguna ayuda para hallar la distancia entre una recta y un punto?
Hola Luciano,
Tenemos un punto Q y una recta r, dada por un punto A y un vector director v. Hallar la distancia de Q a r es lo mismo que hallar la norma del vector QX con X un punto de r que hace que QX sea perpendicular a r. El problema es que no tenemos X. En lugar de hallar ese punto X podemos aplicar el teorema del seno al triángulo que se forma con los puntos A Q y X (vicha la figura de la pagina 161 de las notas ). A, Q y X forman un triángulo rectángulo donde la norma del cateto QX es la distancia que queremos hallar. Como tenemos el ángulo que forma QA y XA, y también la norma de QA (pues Q y A son conocidos) usamos el teorema del seno para despejar norma de QX:
Tenemos un punto Q y una recta r, dada por un punto A y un vector director v. Hallar la distancia de Q a r es lo mismo que hallar la norma del vector QX con X un punto de r que hace que QX sea perpendicular a r. El problema es que no tenemos X. En lugar de hallar ese punto X podemos aplicar el teorema del seno al triángulo que se forma con los puntos A Q y X (vicha la figura de la pagina 161 de las notas ). A, Q y X forman un triángulo rectángulo donde la norma del cateto QX es la distancia que queremos hallar. Como tenemos el ángulo que forma QA y XA, y también la norma de QA (pues Q y A son conocidos) usamos el teorema del seno para despejar norma de QX:
$$ d(Q,r) = ||QX|| = ||QA||sin(\theta) $$
Ahora aplicando la definición de producto vectorial podemos rescribir
$$d(Q,r) =||QA||sin(\theta) = \frac{||QA \wedge v||}{||v||} $$
dejando la distancia escrita en términos de cosas ya conocidas.
Hay una pequeña sección de esto en las notas linkeadas arriba,
cualquier cosa volvé a preguntar,
Saludos,
Paula