Foro Práctico 4

Hola. Sobre la pregunta 1: tu razonamiento está perfecto, la afirmación es verdadera. Es el cuestionario el que está mal, ya lo corregí.

Sobre la pregunta 2: para ver que la afirmación (I) es falsa basta dar un contraejemplo. Puede ser $\displaystyle a_n=\frac{1}{n^3}$ y $\displaystyle b_n = \frac{1}{n}$. Ahí $\displaystyle c_n=\frac{1}{n^2}$, entonces su serie converge pero la de $b_n$ no.

Para ver que las afirmaciones (II) y (III) son verdaderas, fijate que $a_n = c_nb_n$. Si $b_n$ está acotada, entonces existe un $M > 0$ tal que $b_n < M$, por lo que $a_n < Mc_n$. Si la serie de $c_n$ converge, entonces la serie de $Mc_n$ también lo hace. Luego la serie de $a_n$ converge por comparación. Para probar (III) podés hacer algo parecido con $c_n$: si la sucesión $c_n$ converge, entonces está acotada por un $K > 0$. Por lo tanto $a_n < Kb_n$ y podés volver a usar comparación.

Saludos