Foro Práctico 3

Hola Martina. Gracias por el aviso sobre los ejercicios 3 y 4, ya están corregidos los enunciados. Sobre el ejercicio 2, para probar que la afirmación 4 es falsa basta dar un contraejemplo. Uno que se me ocurre es la sucesión

$\displaystyle \left\lbrace a_n \right\rbrace_{n\geq 0} = \left\lbrace -1,1,-\frac12,0,-\frac13,1,-\frac14,0,-\frac15,1,-\frac16,0,\dots \right\rbrace$

Es decir, la subsucesión de los pares es $\left\lbrace -1,-\frac12,-\frac13,-\frac14,-\frac15,-\frac16,\dots \right\rbrace$ (que se puede escribir como $\displaystyle a_{2n} = -\frac{1}{n+1}$), mientras que la de los impares es $\left\lbrace 1,0,1,0,1,0,1\dots \right\rbrace$ (que se puede escribir como $a_{2n+1} = \frac{(-1)^n+1}{2}$). Fijate que ambas cumplen las hipótesis del ejercicio: $a_{2n}$ es creciente y acotada y  $a_{2n+1}$ no converge. La sucesión $b_n$ es, para cada $n$, quedarse con el término más grande entre $a_{2n}$ y $a_{2n+1}$, que por como construí la sucesión siempre es el $a_{2n+1}$. Así, la sucesión $b_n$ es $\left\lbrace 1,0,1,0,1,0,1\dots \right\rbrace$, que no converge.

Saludos