Ejercicio 8 parte a

Re: Ejercicio 8 parte a

de Ricardo Marotti -
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El momento en G de la fuerza externa se puede escribir como una integral sobre los elementos de fuerza \vec{dF} (que da la letra) que se hacen sobre los elementos diferenciales de masa dm que forman la barra como: 

\vec{M_G} = \int_{}^{}{(P-G) \times \vec{dF } }

donde P es la posición del elemento diferencial de masa dm. Eligiendo una coordenada r medida sobre la barra a partir del centro de masa (que varía desde - a a a, para recorrer toda la barra), y un versor  \vec{e_r} según la dirección de la barra (que forma un ángulo  \varphi con la recta fija): 

P-G=r \vec{e_r}

y = y_G + rsen \varphi

donde y_G es la ordenada del centro de masa (distancia del centro de masas a la recta fija). Entonces: 

\vec{M_G}= \int_{}^{}{-Kry dm cos \varphi \vec{k} }

donde  \vec{k}  es un versor saliente perpendicular a la mesa horizontal fija. El diferencial de masa lo puedo escribir como: 

dm = \rho dr

donde  \rho = \frac{m}{2a} es la densidad lineal de masa de la barra. Luego expresando el momento como una integral en r: 

\vec{M_G} = - K(\int_{-a}^{a}{rdr}) \rho y_G cos \varphi \vec{k} -K( \int_{-a}^{a}{r^2dr}) \rho sen \varphi cos \varphi \vec{k}

La primer integral da 0 la segunda da  \frac{2a^3}{3} . 

Saludos: 

Ricardo.