Hola, lo que obtuviste no es cierto. Puede pasar que A~A^-1 y que A no sea ni diagonal, e incluso siendo diagonal puede tener otros valores a parte de 1 y -1 en la diagonal.
Siguiendo un poco la idea de lo que habías arrancado a pensar:
Siguiendo un poco la idea de lo que habías arrancado a pensar:
Fijate que si A = P-1*D*P entonces inviertiendo a ambos lados obtenés que
A-1= ( P-1*D*P )-1 = P-1 D-1 (P-1)-1= P-1D-1P.
Es decir que en general si A es invertible y A~D entonces A-1 ~D-1
Es decir que en general si A es invertible y A~D entonces A-1 ~D-1
Y si D es diagonal, su inversa también es diagonal y en cada lugar de la diagonal tiene el inverso de la correspondiente entrada de D;
Ahora como A-1 ~D-1 la diagonal de D-1 está formada por los valores propios de A-1 (contando multiplicidades)
Si ADEMÁS A--1 también es semejante a D, entonces la diagonal de D también está formada por los valores propios de A-1.
Así que cuando invertís todas las entradas diagonales de D tenés que volver a obtener todas las entradas de D:
Por eso el ejemplo que te puso José, en la diagonal tiene 2 y 1/2