Parcial ej MO

Parcial ej MO

de Joaquin Marquez Ferrari -
Número de respuestas: 4

Una pregunta, en este ejercicio:


¿Qué te asegura que por tener determinante positivo, todas las raíces del polinomio característico sean reales?

¿No podría ser que tuviese soluciones complejas y por lo tanto no ser diagonalizable?

En respuesta a Joaquin Marquez Ferrari

Re: Parcial ej MO

de Jose Vivero -
Hola Joaquín,

Lo primero que hay que observar es que el determinante de M (y el de cualquier matriz cuadrada) coincide con el producto de sus valores propios contando sus multiplicidades. Luego  \det(M)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3\cdot\lambda_4 . Como en cada uno de los círculos  C_1 y  C_4 hay un solo valor propio, tiene que ser un número real en ambos casos (¿puedes justificar esto?). Luego hay dos valores propios que son reales, además uno de ellos es negativo y el otro positivo. Eso significa que los dos valores propios que quedan  \lambda_3 y  \lambda_4 tienen que satisfacer que  \lambda_3\cdot\lambda_4 es un número real negativo. Intenta ahora concluir que la única manera en la que eso es posible es que ambos sean reales (tengan parte imaginaria nula) y además tengan distinto signo. 
Todo este análisis lleva a que M tiene 4 valores propios diferentes y por tanto es diagonalizable.

Espero esto te ayude y si te persiste la duda quedamos a las órdenes.

Saludos.
En respuesta a Jose Vivero

Re: Parcial ej MO

de Joaquin Marquez Ferrari -
Tenía entendido que el det(M) es igual al producto de los vaps solamente si la matriz es diagonalizable, dado que es semejante a la matriz diagonal con los vaps en la diagonal, y por semejanza comparten el determinante. Supongo que aplica para cualquier matriz cuadrada entonces.
Muchas gracias por la ayuda!
En respuesta a Joaquin Marquez Ferrari

Re: Parcial ej MO

de Jose Vivero -
Hay varias maneras de razonarlo, pero siguiendo tu idea incluso si la matriz no es diagonalizable tiene una forma de Jordan que es triangular y tiene los valores propios en la diagonal, luego el determinante de ambas coincide y resulta ser el producto de los valores propios.
Otra manera de verlo es usar el polinomio característico. Sabemos que P_M(\lambda)=\det(M-\lambda I) , luego el determinante de M es igual a P_M(0) . Por el Teorema Fundamental del álgebra todo polinomio con coeficientes reales se descompone en factores lineales en el cuerpo de los complejos. Luego P_M(\lambda)=(\lambda-x_1)^{k_1}\cdots (\lambda-x_s)^{k_s}, donde los x_i son los valores propios. De aquí que P_M(0)=\Pi_{i=1}^{s}x_i^{k_i}, por tanto el determinante es el producto de los valores propios contando las multiplicidades. Ojo que algunos de los x_i pueden ser complejos, pero como el polinomio tiene coeficientes reales vienen en pares conjugados por tanto esa productoria es siempre un número real.

Espero esto te aclare.

Saludos.