Hola, Lorenzo
Sí, es posible hablar de la energía potencial en un punto específico provisto que antes hayamos definido un punto que tomaremos como referencia. Este punto puede ser completamente arbitrario.
Es cierto que el valor de U(x) dependerá de esa elección, pero la variación la energía potencial será la misma independientemente del punto que elijas. Y es esa variación la que influye en el comportamiento dinámico del sistema.
Este tema está explicado bastante claramente en la sección 8-3 del capítulo 8 del Resnick, donde además determina una expresión para la energía potencial elástica como función de la posición x, y una expresión para la energía potencial gravitatoria como función de la altura y.
Te recomiendo que lo leas ahí (es cortito) y cualquier duda, volvé a preguntar.
¡Saludos!