Te quería comentar un poco sobre lo que escribiste.
Lo que te pide el ejercicio es hallar < , >
o sea que digas cuánto es
<(x,y), (x',y')> sabiendo solo que con ese <, >, { (1,1), (2,-1) } es una base ortonormal.
Es decir que los únicos datos que tenés sobre < , > es que
<(1,1), (1,1,)> = 1, <(2,-1), (2,-1)>= 1 y que <(1,2), (2,-1)>= 0
La idea es parecida a cuando tenés que hallar una transformación lineal T sabiendo sólo cuando es T en los vectores de una base: usar que todo vector es combinación lineal de los de la base y las propiedades de T ( o <, >) respecto a la suma de vectores y producto por escalares.
LLamémosle v1=(1,1) y v2= (2,-1); como forman una base de R^2, , cualquier par de vectores (x,y), (x',y') son C.L de v1 y v2:
(x,y) = αv1 + β v2
(x',y') = α' v1 + β' v2
Entonces usando esto y las propiedades del producto interno, podés hallar <(x,y), (x',y')> sabiendo cuánto valen los <,> de los vectores de la base:
<(x,y), (x',y')>= < αv1 + β v2, α' v1 + β' v2> = αα'<v1, v1> + αβ' <v1,v2> + βα' <v2, v1> + ββ' <v2,v2> (**)
y usando los datos de la letra (<,> es el que está buscando, NO es el p.i. usual)
te queda que
<(x,y), (x',y')>= αα'1 + αβ' 0 + βα' 0 + ββ' 1 = αα' + ββ.
Entonces lo que falta hacer es hallar α, β (y α' , β') y sustituírlos arriba.
Es decir, hallar α, β (que dependen de x e y) tales que
(x,y) = α (1,1,) + β (2,-1)
En lo que habías escrito había dos errores:
Cuando escribiste
" (x1,x2) = x1(1,1)+x2(2,-1) " eso es falso,. Fijate que si hacés ola cuenta de la derecha te da (x1+2x2, x1-x2) y no (x1,x2)". Justamente, lo que tenías que hacer era hallar α, β tales que
α(1,1) + β (2,-1) = (x1,x2); o sea resolver el sistema con ecuaciones
α + 2β = x1
α- β= x2.
Y después, cuando escribiste
"
x1y1<(1,1),(1,1)> + x2y2<(2,-1),(2,-1)> y eso me dio
x1y1·2 + x2y2•5" ahí usaste el p.i usual, pero acá el <, > es otro (que es lo que estás buscando) y los datos de la letra te dicen que <(1,1),(1,1)> =1 y <(2,-1),(2,-1)>=1.
Ojo para las otras partes de este ejercicio, porque son para complejos, y entonces las propiedades del producto iinterno que usamos en (**) cambian (los α' y β' salen para afuera del <, > conjugados.)
En mi clase de práctico de hoy, sobre el final, hice la parte 2. Te dejo el link del video por si no te sale (pero intenrá hacerlo antes de mirar el video, je)
Cualquier duda volvé a preguntar.Saludos
Marianita