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de Nataly Melanie Ruber Maimo -
Número de respuestas: 3

holi tengo una duda, para hallar base de Jordan, para hallarla yo lo que hacía era ver si tenía la cantidad suficiente de vectores para hacer la base, y si me faltaba alguno, agarraba un vector cualquiera propio y hacía la matriz T-I multiplicado por x,y,z (depende la dimensión) y lo igualaba a ese vector, pero creo que capaz me estoy equivocando, por ejemplo, en este ejercicio yo conseguí de base

(-1,1,0,0),(0,0,1,1), (0,0,1,-1) así que me faltaba una, los dos primeros pertenecen a el lamda 2 y el último al lamda 0, así que elegí uno cualquiera, el primero, e hice

0-1 -2 0 0

2 4-1 0 0

0 0 1-1 0

0 0 1 1-18

y esa matriz multiplicada por x,y,z,t me dio (1,-1,0,0)

es correcto así?

En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: 14

de Jose Vivero -
Hola Nataly,

Hay partes de tu razonamiento que están bien, pero en general no es correcto lo que planteas. Para hallar una base de Jordan tienes que calcular los valores propios y sus multiplicidades geométricas y algebraicas. Para cada valor propio tienes que ver si dichas multiplicidades coinciden o no, pues la base se forma de a poco añadiendo vectores propios o vectores generalizados según corresponda. En el caso concreto en el que preguntas tienes dos valores propios:  \lambda=0 y  \lambda'=2 . No puedes usar cualquiera de los dos para completar la base con vectores propios generalizados, tienes que ver cuál de ellos (pudieran ser ambos) cumple que  mg < ma y luego hacer las cuentas para hallar el o los vectores generalizados a partir de los vectores propios. Te recomiendo que veas la clase de Open fing, asistas al práctico y veas los ejercicios resueltos. Si después de esto te persiste alguna duda puedes volver a preguntar.

Saludos!
En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: 14

de Mariana Pereira -
Hola Nataly
Lo primero que te quiero hacer notar es que estás haciendo mal la matriz asociada. Pusiste la traspuesta de lo que debería ser.
Fijate que T(1,0,0,0) = (0, -2. 0, 0) así que esta es la primer COLUMNA de la matriz asociada
T(0,1,0,0) = (2, 4, 0, 0) esta es la 2da COLUMNA de la matriz asociada (vos estás poniendo estos vectores como filas en vez de como columna)

Lo otro es que hay tener cuidado con el orden de los vectores cuando los ponés en la base (que se correspondan con la matriz de Jordan)

En este caso la forma de Jordan tiene un bloque J(2) de valor propio 2 (de tamaño 3) y un bloque J(0) de valor propio 0 (de tamaño 1).
Como MG(2)= 2, J(2) tiene 2 subbloques, asi que 1 de tamaño 1 y otro de tamaño 2. Estos van puestos en tamaño creciente
Así que la forma de Jordan es 
2 0 0 0
0 2 0 0
0 1 2 0
0 0 0 0
Ahora si esta es la matriz asociada a T en la base  B={v1, v2, v3, v4}, fijate que por la forma de la matriz tenés que 
T(v1) = 2 v1 y T(v3) = 2 v3  (así que los vectores propios asociados al 2 van en el 1er y 3er lugar de la base) T(v4) = 0.v4 (entonces v4 es vep con vap 0) y lo que te estaría faltando es v2.
Mirando la 2da columna de la forma de Jordan
tenés que T(v2) = 2 v2 + v3, así que (T-2I) (v2) = v3
Entonces, acá es donde tendrías que resolver el sistema (T-2I)(x,y,z,t) = v3 para hallar v2.
El tema acá es que v3 en principio no es cualquier vector propio.
Tiene que ser un vector propio para el cual el sistema  (T-2I)(x,y,z,t) = v3 tenga solución.

Creo que justo en este caso no pasa, pero puede pasar que para algunos vectores propios v el sitema (T-2I)(x,y,z,t) = v te quede incompatible. Entonces en esos casos hay que primero "elegir bien a v3 mirando este sistema" y no fijar de entrada cualesquiera como v1 y v3. 

Para que veas un ejemplo de esto que te digo. Suponete que tenés que T con matriz asociada en la canónica 
(T)  = 1 0 0 0 
          0 2 0 0 
          0 1 2 0 
          0 0 0 2
En este caso 2 es vap triple y 
(T-2I)= -1 0 0 0
              0 0 0 0 
              0 1 0 0 
              0 0 0 0 
Entonces S_2= {(0, 0, z, t)} entonces por ejemplo (0,0,1,0) y (0,0,0,1) sen vectores propios del 2.
Pero fijate que (T-2I)(x,y,z,t) = (0,0,0,1) no tiene solución (la última fila del lado de la izquierda es 0) pero sn embargo 
Pero (T-2I)(x,y,z,t)= (0,0,1,0) sí la tiene (por ejemplo (0, 1 , 0, 0 ) es solución)

A ver si eso aclara el mareo 

Saludos