GAL2-1S: Consulta autoevaluacion

Buenas noches,

No estoy seguro si es correcto preguntar sobre estos ejercicios o no, pido disculpas si no corresponde.

Una de las preguntas que me toco es la siguiente y sinceramente no logro ver el porque de la respuesta correcta:

"Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión 2 y $T:{V} \longrightarrow {V}$ un operador lineal tal que $T^{2} = {0}$ , pero $T \neq {0}$ .

Sea $v \in V$ tal que $T(v) \neq{0}$ . Si $w=T(v)$ . Entonces el conjunto es una base de $V$ . ¿Verdadero o falso?"

Por la información que logro extraer, se quiere ver si

$\{v,T(v)\}$ es base de

$V$ , y se puede afirmar que

$v$ y

$w$ son distintos entre si, porque $T(v) \neq{0}$ y

$T^{2}=T(T(v))=T(w)=0$ .

Lo que no logro ver es que me permite afirmar o descartar que

$v$ y

$w$ sean linealmente independientes, para de esta manera poder concluir si forman una base o no.

Muchas gracias!

Re: Consulta autoevaluacion

de Jose Vivero - lunes, 15 de marzo de 2021, 10:42

Hola Juan:

Como bien dices, los vectores v y w son no nulos. Para ver si forman un conjunto L.I. (como el espacio tiene dimensión 2 basta con que sea L.I. para que sea una base) te recomiendo que plantees la definición: toma

$\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ tales que

$\alpha v + \beta w =0$ y luego aplica T a ambos lados de la igualdad. Después con los datos que te dan sobre T vas a poder concluir que el conjunto es LI, o sea que ambos escalares tienen que ser iguales a cero.

Saludos!

Re: Consulta autoevaluacion

de Juan Martin Correa Rodriguez - lunes, 15 de marzo de 2021, 13:06

Buenos días José,

Muchas gracias! Creo que llegue a la conclusión, pero realmente no estoy seguro de si la idea es correcta.
Tengo que: $0= \alpha.v+ \beta.w= \alpha.v+ \beta.T(v)$

Entonces ahí transformo: $T(0)= \alpha.T(v)+ \beta.T(w)= \alpha.T(v)+ \beta.T(T(v))= \alpha.w+ \beta.0=0$

Ahí igualo y llego a que: $\alpha.w= \alpha.v+ \beta.w$
Entonces $\alpha(v-w)+ \beta(w)=0$
Y como se que $v$ y $w$ son diferentes entre si y tambien distintos de 0 la única solución a la ecuación anterior es que $\alpha$ y $\beta$ sean 0.

¿Es válido el razonamiento? Porque sinceramente no veo otra forma de llegar a justificar que sean LI.

Gracias!

Re: Consulta autoevaluacion

de Jose Vivero - lunes, 15 de marzo de 2021, 16:06

Hola,

Tu razonamiento está bien hasta que llegas a la relación

$\alpha(v-w)+\beta w=0$ , la cual está bien, pero lo que dices para terminar de justificar es incorrecto. Como ejemplo puedes tomar

$v=(2,0), w=(1,0)$ que son diferentes y no nulos, sin embargo

$1\cdot (v-w) + (-1)\cdot w =0$ .

Lo que pasa es que dos vectores distintos y no nulos se pueden combinar de manera no trivial para dar el vector nulo, sin embargo si tienes un solo vector no nulo y multiplicado por un escalar te da nulo, entonces el escalar es cero (piensa por qué). Luego, cuando llegas a que

$\alpha w=0$ , de ahí te queda

$\alpha =0$ y cuando sustituyes en la primera relación te queda

$\beta w=0$ y por la misma razón

$\beta=0$ .

Espero ahora sí te quede claro cómo justificar. Si aún te persiste alguna duda preguntá no más.

Saludos!