Consultas generales

Hola, a continuacion te cuento como podias resolver esos ejercicios.
Para el primero, como todo subconjunto $X$ no vacio de $A$ debe tener un minimo, dados dos elementos cualesquiera $a,b$ de $A$ estos deben estar relacionados por $R$, o sea $aRb$ o bien $bRa$ pues si no estuvieran relacionados podrias considerar el conjunto $X=\{a,b\}$ y este $X$ no tendria minimo (recuerda que un elemento es minimo de un conjunto debe estar en el conjunto, y estar relacionado con todos los elementos del conjunto, o sea $x$ es minimo de $X$ si $xRa$ para todo $a$ en $X$ y ademas $x\in X$ ). Entonces todos los elementos de $A$ deben estar relacionados entre si, por lo tanto $R$ debe ser un orden total. Basta entonces contar ordenes totales en $A$. Como $A$ tiene $n$ elementos hay $n!$ ordenes totales en $A$. La respuesta correcta es la e.
Para el segundo ejercicio, se puede resolver con funciones generatrices como lo vimos en el curso o tambien asi:
como de la primera ecuacion sabes que $a_{n+1}-a_n=b_n$ entonces de aqui deducis que $a_{n+2}-a_{n+1}=b_{n+1}$.
Entonces tenes a $b_n$ y a $b_{n+1}$ en funcion de los terminos de la sucesion $a_n$, asi que sustituyendo $b_n$ y a $b_{n+1}$ en la segunda ecuacion, obtenes una ecuacion solo en funcion de los terminos de la sucesion $a_n$ que te queda homogenea de segundo orden: $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$. Resolviendo la homogenea te queda $a_n=C_12^n+C_2n2^n$ pues 2 es raiz doble en el polinomio caracteristico. Hallas las constantes $C_1, C_2$ con las condiciones iniciales: $a_0=3$ y $a_1=a_0+b_0=3+5=8$ y asi te queda $a_n=3.2^n+n2^n$, entonces $a_{10}=2^{10}(13)$.
Ademas $b_n=a_{n+1}-a_n=2^n(n+5)$ asi que $b_{10}=2^{10}(15)$. La respuesta correcta es la d.