Hola, lo primero que debes hacer es elevar al cuadrado la ecuacion para eliminar esa raiz del problema y asi llegas a la ecuacion
o equivalentemente
. Fijate que si haces cambio de variable
la ecuacion te queda
que es lineal de primer orden no homogenea, con condicion inicial ![b_1=a_1^2=273 b_1=a_1^2=273](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b6defce746477bb7596c57b14cdce219.png)
Para proceder a resolver esta ecuacion, primero resolves la homogenea que tiene polinomio caracteristico
cuya raiz es 1. Por lo tanto, la solucion de la homogenea queda
siendo C una constante.
Luego para la particular, como
con
y
la solucion particular
(pues r=1 es justo raiz del polinomio caracteristico, ver notas del curso), siendo
un polinomio del mismo grado que
. Entonces
. Sustituyendo en la ecuacion
obtenes que
por lo tanto
.
Luego la solucion general
. Imponiendo la condicion inicial
llegas a que
. Luego
y como
entonces
. Sustituyendo
llegas a ![a_{20}=\sqrt{900}=30 a_{20}=\sqrt{900}=30](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2bde4d5c9cddd78c3d96cf8bbb6f97a2.png)
![a_n^2=a_{n-1}^2+3n a_n^2=a_{n-1}^2+3n](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c5989cff3dd2edfe9ccf7541f4e836d9.png)
![a_n^2-a_{n-1}^2=3n a_n^2-a_{n-1}^2=3n](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/de0148420fe4edb113c4f15770272721.png)
![b_n=a_n^2 b_n=a_n^2](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ef7ebe6eeb31ba1536967997fa76b7d1.png)
![b_n-b_{n-1}=3n b_n-b_{n-1}=3n](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/db19592c48e4cd1b2f1c0c709e2870ad.png)
![b_1=a_1^2=273 b_1=a_1^2=273](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b6defce746477bb7596c57b14cdce219.png)
Para proceder a resolver esta ecuacion, primero resolves la homogenea que tiene polinomio caracteristico
![\lambda -1=0 \lambda -1=0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/13870219dc5fab56a399144b0a47a0a4.png)
![b_n^{(H)}=C1^n=C b_n^{(H)}=C1^n=C](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/63b70fa789e32153a53e5f3cdededd25.png)
Luego para la particular, como
![f(n)=3n=r^ng(n) f(n)=3n=r^ng(n)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/219a4f971339275d389805abc5404dac.png)
![r=1 r=1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7c6270537cb2cf1c86fd46bbc6975dd3.png)
![g(n)=3n g(n)=3n](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ce50d7384f53b96a4d60f8fd9e1ec126.png)
![b_n^{(p)}=nr^nh(n) b_n^{(p)}=nr^nh(n)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e002d66e92bc35d2a1e417a3d8214844.png)
![h(n)=An+B h(n)=An+B](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/a0a500f2255c186b70a9fa9a2678027e.png)
![g(n) g(n)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/eac896151a22d31a60cceba6deea3cbb.png)
![b_n^{(p)}=n(An+B) b_n^{(p)}=n(An+B)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/52eceb3e0c9a29c4df76eb5103ac0f69.png)
![b_n-b_{n-1}=3n b_n-b_{n-1}=3n](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/db19592c48e4cd1b2f1c0c709e2870ad.png)
![A=B=3/2 A=B=3/2](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/33c606af072485c033fe8bf7fa384677.png)
![b_n^{(p)}=\frac{3}{2}n(n+1) b_n^{(p)}=\frac{3}{2}n(n+1)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cc5ee93333ff90a12264742ad5a3f244.png)
Luego la solucion general
![b_n=b_n^{(H)}+b_n^{(p)}=C+\frac{3}{2}n(n+1) b_n=b_n^{(H)}+b_n^{(p)}=C+\frac{3}{2}n(n+1)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/478426c7f1f3a6a6a310d3640dbbcc81.png)
![b_1=273 b_1=273](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4fa5726c52f81a86fd0825cd9c060853.png)
![C=270 C=270](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4892472ab028a52303c735c7bc746d15.png)
![b_n=270+\frac{3}{2}n(n+1) b_n=270+\frac{3}{2}n(n+1)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d693193c29c2efdfb4bd8923ec463dee.png)
![b_n=a_n^2 b_n=a_n^2](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ef7ebe6eeb31ba1536967997fa76b7d1.png)
![a_n=\sqrt{270+\frac{3}{2}n(n+1)} a_n=\sqrt{270+\frac{3}{2}n(n+1)}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d31c4d866e854c32a533ea9d192b65c5.png)
![n=20 n=20](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7774fee0a1a510739aba1724f7498361.png)
![a_{20}=\sqrt{900}=30 a_{20}=\sqrt{900}=30](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2bde4d5c9cddd78c3d96cf8bbb6f97a2.png)