Consultas generales

Hola, lo primero que debes hacer es elevar al cuadrado la ecuacion para eliminar esa raiz del problema y asi llegas a la ecuacion $a_n^2=a_{n-1}^2+3n$ o equivalentemente $a_n^2-a_{n-1}^2=3n$. Fijate que si haces cambio de variable $b_n=a_n^2$ la ecuacion te queda $b_n-b_{n-1}=3n$ que es lineal de primer orden no homogenea, con condicion inicial $b_1=a_1^2=273$
Para proceder a resolver esta ecuacion, primero resolves la homogenea que tiene polinomio caracteristico $\lambda -1=0$ cuya raiz es 1. Por lo tanto, la solucion de la homogenea queda $b_n^{(H)}=C1^n=C$ siendo C una constante.
Luego para la particular, como $f(n)=3n=r^ng(n)$ con $r=1$ y $g(n)=3n$ la solucion particular $b_n^{(p)}=nr^nh(n)$ (pues r=1 es justo raiz del polinomio caracteristico, ver notas del curso), siendo $h(n)=An+B$ un polinomio del mismo grado que $g(n)$. Entonces $b_n^{(p)}=n(An+B)$. Sustituyendo en la ecuacion $b_n-b_{n-1}=3n$ obtenes que $A=B=3/2$ por lo tanto $b_n^{(p)}=\frac{3}{2}n(n+1)$.
Luego la solucion general $b_n=b_n^{(H)}+b_n^{(p)}=C+\frac{3}{2}n(n+1)$. Imponiendo la condicion inicial $b_1=273$ llegas a que $C=270$. Luego $b_n=270+\frac{3}{2}n(n+1)$ y como $b_n=a_n^2$ entonces $a_n=\sqrt{270+\frac{3}{2}n(n+1)}$. Sustituyendo $n=20$ llegas a $a_{20}=\sqrt{900}=30$