Consultas generales

Hola, exactamente como  dices, los $x_i$ no pueden ser negativos ni cero, por lo tanto es lo mismo que calcular la cantidad de soluciones del problema con $1\leq x_i\leq 10$. Luego podes hacer lo siguiente, llamando $y_i=x_i-1$ para $i=1,2,3$ logras que ahora $y_i\geq 0$ y la ecuacion $x_1+x_2+x_3=21$ es equivalente a la ecuacion $y_1+y_2+y_3=18$ (pues restas uno a cada $x_i$ en el lado izquierdo de la ecuacion, y por lo tanto del lado derecho restas 3 en total).

Entonces ahora el problema a resolver es $y_1+y_2+y_3=18$ con $0\leq y_i\leq 9$ para $i=1,2,3$

Este problema lo podes resolver con el principio de inclusion-exclusion:

Llamando $N$ a la cantidad de soluciones de la ecuacion

$y_1+y_2+y_3=18$ con $0\leq y_i$ para $i=1,2,3$ resulta $N=CR^3_{18}=\binom{18+3-1}{18}=\binom{20}{18}=190$

Llamando $C_i: y_i> 9$, la respuesta final al problema es:

$N(\bar{C_1}\bar{C_2}\bar{C_3})=N-[N(C_1)+N(C_2)+N(C_3)]+[N(C_1C_2)+N(C_1C_3)+N(C_2C_3)]-N(C_1C_2C_3)$

Analogamente $N(C_2)=N(C_3)=45$.

Para $N(C_1C_2)$ fijate que habria que resolver $y_1+y_2+y_3=18$ con $y_1>9, y_2>9, 0\leq y_3$ y este problema no tiene solucion, o sea que $N(C_1C_2)=0$. Analogamente $N(C_1C_3)=N(C_2C_3)=0$ y tambien $N(C_1C_2C_3)=0$

La respuesta final es entonces $N(\bar{C_1}\bar{C_2}\bar{C_3})=N-[N(C_1)+N(C_2)+N(C_3)]=190-[45+45+45]=55$