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No vi el ejercicio, pero si entiendo bien podés sacar (lambda*y)/(6*pi*epsilon) como constante para afuera lo cual te deja la integral de 1/(y^2+x^2), sacando como "factor común" de abajo y^2 y sacandolo de la integral ya que es constante te queda 1/(1+(x^2/y^2)), acá tenés que hacer cambio de variable u=(x/y) con lo cual du=(dx/y) te queda la integral de y/(1+u^2) respecto a u, que es y*Arctan(u), con lo cual deshaciendo el cambio de variable y juntando todo te queda:

(lambda*Arctan(x/y))/(6*pi*epsilon)

Espero se entienda, sino decime que lo intento de escribir de alguna forma más linda, o que alguien más lo explique mejor si lo entendió.

$\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dl}{(l^2+y^2)^\frac{3}{2}}$
Cambio de variable
$z=l/y \Rightarrow dz=\frac{dl}{y}$
$\displaystyle\int_{\frac{-L}{2y}}^{\frac{L}{2y}}\frac{ydz}{(y^2(z^2+1))^\frac{3}{2}} = \frac{y}{y^3}\displaystyle\int_{\frac{-L}{2y}}^{\frac{L}{2y}}\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{3}{2}}$
La primitiva de
$\displaystyle\int\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{3}{2}}=\displaystyle\int{dz}\left(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}-\frac{z^2}{(z^2+1)^\frac{3}{2}}\right)$

Partes: $\displaystyle\int{f'g}=fg-\displaystyle\int{fg'}$

Con $f=\frac{1}{(z^2+1)^\frac{1}{2}} \quad y\quad g=z$

Queda $f'=\frac{-z}{(z^2+1)^\frac{3}{2}} \quad y\quad g'=1$

Entonces la primitiva de $\displaystyle\int{dz}\left(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}-\frac{z^2}{(z^2+1)^\frac{3}{2}}\right) =\displaystyle\int{\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{1}{2}}+\left(\frac{z}{(z^2+1)^\frac{1}{2}}-\displaystyle\int{\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{1}{2}}}\right)=\frac{z}{(z^2+1)^\frac{1}{2}}$

Entonces la integral $\displaystyle\int_{\frac{-L}{2y}}^{\frac{L}{2y}}\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{3}{2}}=\frac{L}{y\sqrt{(L/(2y))^2+1}}$

Hice solo la integral, o sea multiplicando por las cosas que permanecen constantes (lambda, epsilon, pi, y) queda el campo eléctrico.
Creo que lo que hizo Diego esta bien, pero la integral tenia el ^3/2 que cuando lo pusiste en el foro parece un x(3/2)