Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola Katia. Tené en cuenta que de el hecho de que $f$ sea diferenciable quiere decir que

$\lim_{v \rightarrow a} \frac{f(v) -f(a) -D_f(a)(v-a)}{||v-a||} = 0$

Una aplicación particular de ello es que, si nos acercamos al punto $a$ por una dirección $v_0$ fija (variado sólo el escalar y tomando sin pérdida de gralidad $||v_0|| = 1$), y llamando $a+hv_0$ al anterior vector $v$ tenemos que

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + hv_0) - f(a) -Df(a)(hv_0)}{||hv_0||} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + hv_0) - f(a)}{|h|} - \frac{Df(a)(hv_0)}{|h|} = 0$

Además como el diferencial es lineal, $\frac{Df(a)(hv_0)}{|h|} = Df(a)v_0$, si $h$ es positivo. En dicho caso se tiene

$\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a + hv_0) - f(a)}{h} = Df(a)(v_0)$. Para $h$ negativo la cuenta es similar.