Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola,

La geometría del problema no se presta mucho para las coordenadas que elegiste. Por ejemplo, no es cierto que el radio $\rho$ deba variar entre $0$ y un cierto valor en función de $z$ sin tener en cuenta $\theta$. 

Yo creo que lo mejor es observar que lo que tenes es un paraboloide cortado con un plano. El corte va a quedar una elipse en el espacio dada por las ecuaciones 

$x^2 + y^2 = z$       

$x-z+2 = 0$

Si elimino la variable $z$ lo que estoy obteniendo es la proyección ortogonal en el plano $xy$ de esta elipse, cuya ecuación es 

$x^2+y^2 = x + 2$, lo cual es una circunferencia que no esta centrada $(x-1/2)^2 +y^2 = 2 + \dfrac{1}{4}$

entonces el ejercicio lo que esta pidiendo es calcular el volumen que queda comprendido por la gráfica de dos funciones ($f_1(x,y) = x^2+y^2$ y $f_2(x,y) = x+2$ definidas sobre un dominio $D = \{ (x-1/2)^2 + y^2 \leq 2 + \dfrac{1}{4} \}$

Para eso calculo $\iint_D (f_2 - f_1)(x,y) \ dxdy = \iint_D (x-1/2)^2 +y^2 - 2 - 1/4 \ dxdy$

entonces teniendo en cuenta la función que hay que integrar y la forma del dominio, lo más conveniente parece ser hacer polares centradas en $x = 1/2$ e $y = 0$. Con eso la función a integrar $(f_2 - f_1)(x,y)$ queda simple, y el dominio también, pues $D$ es un circulo.

Por cierto, en este caso plantear la cuenta como la integral doble de la diferencia entre las funciones es lo mismo que calcular la integral triple de la función 1 sobre la región determinada por las gráficas. Pensado como integral triple las coordenadas serían cilíndricas centradas en el punto $x = 1/2$ e $y = 0$ y la variable $z$ va entre $f_1(r\cos \theta,r\sin \theta)$ y $f_2(r\cos \theta,r\sin \theta)$.

Te dejo las cuentas para terminar! Decime si me explique bien sino seguimos discutiendo

Saludos