Buenas, estoy tratando de obtener las bases, pero no encuentro ninguna definición que me pueda servir para este ejercicio. Lo unico que se es que la matriz asociada \( _C(T)_B \) tiene en sus columnas las coordenadas de las transformaciones lineales de la base \( B \) pero no se ninguna de las 2 bases ¿Como puedo hacer en este caso?
En respuesta a Daniel Edgardo Pellejero Morales
Re: Ejercicio 1.4.b
Hola Daniel,
La idea del ejercicio es poder interpretar la matriz asociada de la transformación. Considerando un par de bases genéricas $$C=\{c_1,c_2,c_3,c_4\}$$ y $$B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$$ podés saber que $$T(b_5)=T(b_4)=0$$ (de la matriz sabés que en realidad las coordenadas de $$T(b_5)$$ y $$T(b_4)$$ son el vector nulo, pero esto también implica que el vector transformado es el nulo). Mientras que por otro lado, sabés que $$T(b_3)=c_3$$, $$T(b_2)=c_2$$ y $$T(b_1)=c_1$$.
A partir de esto te recomiendo que comiences tratando de hallar los vectores $$b_5$$ y $$b_4$$ aplicando la definición de la transformación lineal (por ejemplo, vas a saber que en dichos vectores se deberá cumplir, entre otras cosas, que $$a=d$$). Una vez hallados $$b_5$$ y $$b_4$$ (teniendo el debido cuidado de hallar dos vectores que cumplan las condiciónes de $$T(b_5)=T(b_4)=0$$ pero que a su vez no sean colineales entre ellos, ya que de ser así, no podrías luego formar una base), la idea es que completes el conjunto $$B$$ con tres vectores que no sean combinación lineal de los restantes, de manera de obtener una base.
Una vez determinada la base $$B$$ simplemente tenés que calcular la transformación de $$b_1$$, $$b_2$$ y $$b_3$$ y posteriormente hallar un vector $$c_4$$ que complete la base $$C$$. Hay infinitas soluciones posibles para este ejercicio, para hallar las bases vas a tener muchas variables sin definir, y tendrás que elegir una posible solución, que te va a condicionar la forma de los demás vectores.
Cualquier duda que surja preguntá de nuevo.
Saludos