GAL1-2S: Ejercicio 1.3

Buenas noches, me encuentro haciendo este ejercicio en el que la consigna se me pide agregar vectores para que el conjunto sea base del espacio generado. Por lo que tengo entendido del teórico, fijándome en la dimensión del espacio (en este caso R4), la base va a tener que tener 4 generadores, por lo que voy a tener que agregar 2 vectores al conjunto.

Mi pregunta es: ¿Cómo los agrego? ¿Hay alguna forma a seguir o se hace de forma aleatoria con los vectores que yo crea necesario?

Muchas gracias.

Saludos.

Re: Ejercicio 1.3

de Bruno Dominguez - viernes, 6 de noviembre de 2020, 11:52

Hola Bruno, no hay receta a seguir en este caso. Lo que podes hacer es elegir alguno que tenga ceros al principio (x ejemplo (0,0,0,1)) ya que al hacer las cuentas para comprobar que el conjunto que te quedó es LI son más sencillas.

Un detalle de lo que escribiste: "la base va a tener que tener 4 generadores", la base va a tener 4 vectores, no generadores, un generador es un conjunto de vectores que generan un espacio, una base es un generador LI.

Saludos

Re: Ejercicio 1.3

de Daniel Edgardo Pellejero Morales - viernes, 6 de noviembre de 2020, 23:48

Hola profe, yo estoy trancado con la parte b) de este ejercicio, no encuentro una manera de añadir más vectores, lo que puedo saber es que al estar hablando de $ \mathbb R_3 [x] $ la dimensión es 4 (Según el ejemplo que hay en el teorico) por lo tanto una base posible debe tener 4 vectores. Es decir me están faltando dos vectores,puedo notar a simple vista que faltaría el vector que genere el termino de mayor grado, es decir $ x^3 $, ahora ¿Como puedo hacer para hallar el vector que me falta?

Re: Ejercicio 1.3

de Bruno Dominguez - sábado, 7 de noviembre de 2020, 16:35

Hola Daniel,

Capaz que para pensar esta parte podés usar la analogía de $$\mathbb{R}_3[x]$$ con $$\mathbb{R}^4$$ donde al polinomio $$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ lo podés pensar como el vector $$v=(a,b,c,d)$$. Entonces en este caso el conjunto que te dan quedaría: $$A=\{ (0,1,-1,1) , (0,-1,1,0) \}$$.

Lo que planteás es correcto, si agregas $$p(x)=x^3$$ (o análogamente el (1,0,0,0) ) a tu conjunto este sigue siendo LI, ahora escalerizando fijate qué otro podés agregarle para que siga siendo LI.

Saludos