La idea general está bien. Lo que no está muy bien es el manejo que hacés de los límites.
¿Qué límite estás tomando exactamente cuando decís 
?
En las integrales que planteas, la única 
es la variable de integración, que es una mera "etiqueta" digamos.
En realidad hay otro límite implícito, que se da al escribir el límite superior de integración como 
. Estaría bueno hacerlo explícito (para poder, por ejemplo, usar legalmente la fórmula de integración por partes, que sabemos que vale para integrales no impropias).
Entonces te recomiendo que al usar partes, lo hagas con integrales con extremos de integración finitos. Luego, ese extremo superior de la integral es lo que hacés tender a infinito (sospecho que es lo que quisiste hacer, pero escribiste otra cosa).
Saludos