Hola Lucas,
Para probar la primer parte la idea es plantear que la solución del sistema $$AX=b$$ está dada por $$X=A^{-1}b \quad \textbf{(1)}$$ (dado que $$A$$ es invertible). Debido a que $$A=LU$$ entonces se verifica que $$A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$$, por lo que si sustituyo en $$\textbf{(1)}$$ obtengo que $$X=U^{-1}L^{-1}b$$, donde se puede ver además que $$L^{-1}b=Y$$, ya que es la solución del sistema $$LY=b$$. Fijate si a partir de ahí podés terminar de escribir la demostración.
Luego para las partes siguientes se debe escalerizar las matrices dadas, hallar las matrices elementales asociadas a cada transformación elemental aplicada durante el proceso de escalerización y de esta manera hallar las matrices $$U$$ y $$L$$ como se explica en el ejercicio. Una vez hallada la descomposición LU se aplica lo demostrado en la primer parte para resolver los distintos sistemas lineales.
Saludos