¡Buenas! No estoy logrando sacar cómo demostrar que \( A=0_n \) tal que \( A^t=\lambda A \) donde \( \lambda \neq \pm 1 \). Sé que A tiene que ser \( 0_n \) porque si no el resultado de \(\lambda A \neq A^t\), pero no sé cómo demostrarlo en sí. Si alguno pudiera darme una idea de cómo encararlo, les agradezco mucho!
Saludos!
Hola Santiago,
Creo que lo tenés claro, pero tal vez no lo planteaste de la mejor manera. Vos tenés que partir de que se cumple que $$A=\lambda A^t$$ con $$\lambda \neq \pm 1$$ y desde ahí concluir que $$A=0_n$$.
Fijate que al trasponer una matriz, los elementos de su diagonal siguen siendo los mismos (ya que $$A$$ es cuadrada), por lo que para cada elemento $$a_{ii}$$ de la diagonal se cumple que $$a_{ii}=\lambda a_{ii}$$ por lo que $$a_{ii}(1-\lambda)=0$$ $$\forall i=1,\ldots,n$$. De esta última ecuación se deduce que, dado que $$(1-\lambda)\neq 0$$ se debe cumplir que $$a_{ii}=0$$ $$\forall i=1,\ldots,n$$.
Para los elementos que no pertenecen a la diagonal la idea sería la misma, pero planteando que por un lado $$a_{ij}=\lambda a_{ji}$$ y a su vez también se cumple que $$a_{ji}=\lambda a_{ij}$$. Fijate si a partir de ahí podés concluir la demostración.
Si te trancás o no entendiste algo no dudes en volver a preguntar.
Saludos
Sólo una cosa quiero confirmar, el \( (1 - \lambda) \) salió de pasar el \( \lambda \) de la derecha de \( a_{ii} \) a la izquierda (y como estaba multiplicando lo pasamos dividiendo), y luego realizaste la inversa para que te quede todo multiplicado ¿Verdad?
El resto creo que se entendió bárbaro ¡Muchas gracias por la respuesta!
Buenas,
Me gustaría saber si la siguiente demostración es válida, o si lo estoy encarando bien.
Gracias!
saludos
Hola Juan, está bien de bien la demostración. Lo único que agregaría es cuando decís que $$a_{ij}=a_{ji}$$ eso es verdad xq $$\lambda \neq 1$$, para poder cancelar el $$(1+\lambda)$$.
Saludos
Impecable Bruno, muchas gracias!
Hola, Martin
Me podrias explicar de donde es que sale el \( ( 1-\lambda) y (1+ \lambda) \) ? No entiendo muy bien eso.
Gracias
Hola Gabriela,
Viendo la demostración que planteó Juan, el $$(1-\lambda)$$ sale de ver los elementos de la diagonal de la ecuación $$A^t=\lambda A$$, como los elementos de la diagonal al transponer no varían se obtiene que: $$(a_{jj}^t)=a_{jj}=\lambda a_{jj}$$, por lo que despejando de acá se obtiene: $$a_{jj}(1-\lambda)=0\ \forall j=1,...,n$$.
Para el término de $$(1+\lambda)$$ hay que ver los términos que no son de la diagonal, por un lado se tiene que \( (a_{ij})^t=a_{ji}=\lambda a_{ij} \implies a_{ji}-\lambda a_{ij}=0 \), y por otro que \( (a_{ji})^t=a_{ij}=\lambda a_{ji} \implies a_{ij}-\lambda a_{ji}=0 \). Combinando estas dos ecuaciones, se tiene que $$a_{ji}-\lambda a_{ij}=a_{ij}-\lambda a_{ji} \implies a_{ji}(1+\lambda)=a_{ij}(1+\lambda)$$.
Espero que haya quedado más claro, cualquier cosa preguntá de nuevo.
Saludos