Ejercicio 10

Ejercicio 10

de Ivan Ezequiel Rivero Tabarez -
Número de respuestas: 4

Nos piden probar que el P(de los z conjugados) es igual al conjugado de P(z). Al tener como dato que los coeficientes del polinomio son reales, concluí que P(z)=conjugado de P(z) pero el problema es en como llegar a que eso es igual a P(z conjugado). Tengo la idea de tener que trabajar un poco con raíces genéricas complejas, pero no logro entender como. Si me pueden guiar un poco se agradece, muchas gracias!!

En respuesta a Ivan Ezequiel Rivero Tabarez

Re: Ejercicio 10

de Veronica Rumbo -

Hola Iván. Tené cuidado que hay una afirmación que no es cierta: P(z) no tiene por que coincidir con \overline{P(z)}. Por ejemplo supongamos que el polinomio es P(z) = z. Tomando z = i tengo que P(z) = z = i y \overline{P(z)} = \overline{i} = -i. No son iguales.

Volviendo a la igualdad original, que queremos probar, no hay necesidad de pensar en raíces genéricas. La idea es usar las distintas propiedades de la conjugación. Te recomiendo considerar un polinómio genérico P(z) = a_nz^n + \ldots + a_1z + a_0 y usar las propiedades de la conjugación para hallar P(\overline{z}) y \overline{P(z)}.

Espero te sirva de guía. Saludos.

(Editado por Carolina Puppo - envío original miércoles, 19 de agosto de 2020, 15:38)
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Ejercicio 10

de Sebastian Alejandro Sosa Cinotti -
Tengo una consulta con esto:

Me da la impresión que para lograr verificar la parte a) hay un paso que no me queda claro. En el conjugado del polinomio usamos la propiedad de la suma de conjugados para separar el polinomio en sumandos de conjugados. El tema es que ahí pasamos de tener conjugadoDe(\lambda_n(a + bi)^n) a \lambda_n(a - bi)^n. Ese paso es válido? Porque me parecería que no es tan directo el paso siendo que tenemos una potencia en el medio.

Gracias!
En respuesta a Sebastian Alejandro Sosa Cinotti

Re: Ejercicio 10

de Leandro Bentancur -
Hola Sebastián,

El producto de los conjugados es el conjugado de los productos. Esta propiedad se verifica para el producto de dos términos y luego es fácil de generalizar para el producto de n términos. Con eso sale ese paso.

Saludos,
Leandro