Quizás estés confundiendo cuando y como aplicar Stokes y cuando y como aplicar Divergencia (Gauss). El teorema de Stokes es aplicable siempre y cuando el campo vectorial sea continuo y diferenciable en la superficie S (que puede ser cualquier superficie que tenga como frontera la curva C). En el teorema de Divergencia es aplicable en el caso que la superficie sea cerrada y el campo vectorial sea continuo y diferenciable en D (espacio encerrado por la superficie, incluyendo la propia superficie (frontera de ese espacio). O sea aquí se responde tu inquietud. No se trata de aplicar Gauss(divergencia) y después Stokes, se trata de aplicar en el caso de tratarse de una superficie cerrada (Se aplica Teorema Divergencia) o si no es cerrada (Stokes) siempre que se cumplan las hipótesis del teorema. En el ejercicio, la superficie es cerrada. El flujo a través de ella, es la suma de los flujos a través de las 2 tapas y de la porción de esfera sin los casquetes. Por el hecho de estar en las hipótesis del teorema de la divergencia, esa suma de flujos es igual a la triple integral de la divergencia del campo vectorial. Ahora bien, X=rot(Y) por las partes anteriores del ejercicio. Sin calcular los flujos por separado, se puede decir que el flujo neto es 0 dado que la DivX=Div(Rot(Y))=0, por lo que la triple integral es 0. Pienso que si se calculara el flujo por separado, entonces el flujo en las tapas son iguales y opuestos por el hecho de que las normales son salientes(regla mano derecha). En la porción de esfera, la normal es saliente y el flujo es 0 porque hay simetría y se anulan todas las contribuciones. Espero haberme explicado y no haberme equivocado. Un abrazo. Sixto.