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Hola, Margaret, Es bueno que preguntes. La estrategia es buscar una manera de contestar sin tener que necesariamente resolver la ley horaria o la trayectoria exacta de la partícula. Por eso se estudia el comportamiento de los términos de la energía.

Lo primero para tener en cuenta es que, por definición, $E-U_{\text{ef}}(r) = m \dot r ^2 /2$. Entonces, la diferencia entre la energía $E$ (constante) y el potencial efectivo $U_{\text{ef}}$ no puede ser negativa, en ninguna parte del movimiento. Si encontramos que para ciertos valores de $r$ la diferencia se hace negativa, esto implica que esos valores de $r$ nunca pueden ser alcanzados en el movimiento de la partícula.

En algunos casos, según las condiciones iniciales y la forma de los potenciales, podríamos tener una energía mecánica $E$ tan grande que cumpla $E-U_{\text{ef}}(r) \geq 0$ para todo $r$, de manera que todos los valores posibles del radio son alcanzables (de 0 a $\infty$).

Puede darse, en otros casos, que la energía de la partícula esté por debajo del máximo de $U_{\text{ef}}$. Si esto sucede, aparecen regiones inaccesibles al movimiento donde $E-U_{\text{ef}}(r) < 0$ y nunca podremos observar la partícula en los intervalos de valores de $r$ correspondientes. A su vez, se forman "barreras de potencial" que "atrapan" a la partícula, obligándola a permanecer en un intervalo de valores de $r$ dado por las condiciones iniciales, porque nunca puede pasar a través de la o las regiones inaccesibles.

En el problema de la prueba final, se pregunta en qué condiciones se puede impedir que la partícula llegue al origen ($r=0$) cuando proviene desde $r\to \infty$. Esto se consigue si aparece una "barrera de potencial", para se busca que se cumpla $E \leq U_{\text{ef}}(r_0)$ , siendo $U_{\text{ef}}(r_0)$ el máximo del potencial efectivo. En ese caso, los valores de $r$ quedan separados en tres intervalos, I, II y III (ver figura). Solo los intervalos I y III son accesibles; como la partícula proviene del infinito, inicialmente pertenece al intervalo III y permanecerá allí. Si por el contrario sucediera $E \geq U_{\text{ef}}(r_0)$, todos los valores de $r$ serían accesibles y tendríamos una única región.

En la solución se calcula la posición del máximo del potencial efectivo y su valor, y luego cómo la desigualdad impuesta sobre la energía $E$ acota el valor de la velocidad inicial. A continuación se ahce el planteo para determinar el punto de retroceso en el cual $\dot r =0$ (dado por lo tanto $E = U_{\text{ef}}$).

¿Se entendió? ¿Cómo quedaría el dibujo para el caso $E = U_{\text{ef}}(r_0)$ exactamente ?

Sugiero comparar con otros ejemplos parecidos de los prácticos y pruebas anteriores.

Saludos,

NC

Hola, Gabriel.Tienes razón. Nuestras expectativas con respecto a los resultados de la prueba no se cumplieron, y estoy convencido de que el factor más importante (entre unos cuantos) fue el tiempo disponible que resultó demasiado escueto. Yo aún sigo  reflexionando sobre todo lo acontecido sobre la prueba...

Tomando el ejemplo que planteas, yo pienso quienes llegaron a la expresión correcta de F podrían haber sido capaces de realizar las simplificaciones necesarias con algo más de tiempo disponible e incentivos. La clave aquí sería poder comprobar que la expresión complicada que queda entre paréntesis rectos es, en efecto, una constante. Otro camino distinto al que está publicado es tomar denominador común para combinar todos los términos; es más tedioso pero es más directo en el sentido de que aparece un término $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ de forma natural. El enunciado de la pregunta no indicaba que la fuerza fuera isotrópica (sin dependencia en $\theta$), pero todas las opciones posibles en la múltiple opción eran de la forma $F=F(r)$.

Pero más allá de este caso concreto, estoy de acuerdo con que la prueba no fue apropiada para realmente evaluar los conocimientos de mecánica.