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Hola, está bien lo que decís, el módulo del fasor de voltaje es $V_0=\sqrt{2}V_\textrm{rms}$. Entonces el $I_0$ que calcula en la parte c) es el valor rms de la corriente. Fijate que esto no afecta el resultado obtenido para la capacitancia, porque si se cumple que $|\hat{I}_C|=|\hat{I}_0|\sin\phi$ también se cumple 

$I_0^\mathrm{rms}\sin\phi=I_C^\textrm{rms}=\omega C V_\textrm{rms}$

y ahí usa el valor rms de $I_0$ que calculó y el voltaje que da la letra para despejar la capacitancia.

Para la parte d) la potencia media disipada por la resistencia es $\bar{P}=Ri_\textrm{rms}^2$, y usa el valor de $I_0$ que calculó en c), que dijimos que era el rms así que está bien.

Espero que haya quedado más o menos claro. Saludos!