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Hola Romina, algunas observaciones:

para hallar la ecuación de movimiento que cumple el ángulo $\theta$ se puede proyectar la segunda ley de Newton según la dirección tangente a la guía ($\hat t$ en la solución) ya que la guía es lisa y por lo tanto en esa dirección no ejerce ninguna reacción, pero cuidado que la guía está girando: los términos de aceleración que incluiste sólo corresponden a la aceleración de la partícula relativa a la guía, te falta la aceleración de transporte (Coriolis te va a quedar perpendicular al plano de la guía, no la calcules por ahora).

(otro tema a tener cuidado es que pusiste los versores de proyección cruzados, $\hat t$ es $\hat e_\theta$).

Como podés ver después, esa ecuación de movimiento es preintegrable, lo que indica que una cierta cantidad física es conservada, pero no se trata de la energía vista desde el sistema inercial, si no de la energía relativa a la guía (es decir, hay una ley de conservación de la forma del teorema de la energía en el sistema no inercial, ver Ej. III.9 [resuelto]).

(de hecho, la componente perpendicular al plano de la guía de la reacción ejercida por la misma sobre la partícula [$N_2$ en la solución] es de potencia no nula, por lo que no se conserva la energía mecánica vista desde un sistema inercial).

Saludos,

Ariel.