Cálculo Serie de Laurent

Cálculo Serie de Laurent

de Agustin Eduardo Rodriguez Esteva -
Número de respuestas: 5
Hola, estoy haciendo el ejercicio 2 del Práctico 8. Pide obtener la Serie de Laurent de 1 / (e^z -1) en z=0

Utilizando la definición de los coeficientes y el teorema de generación de funciones analíticas:
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El problema es que llego como valor del coeficiente a la función evaluada en un polo..

Probando distintos coeficientes no logro llegar a lo pedido por el ejercicio

¿Por dónde lo encaro sino?

Gracias!
En respuesta a Agustin Eduardo Rodriguez Esteva

Re: Cálculo Serie de Laurent

de Eduardo Canale -
Efectivamente, este ejercicio, tiene "sus detalles".

Hay una parte relativamente sencilla que es la siguiente:es obvio que 1/(e^z-1) tiene un polo de orden 1, es decir

1/(e^z-1) = A/z + g(z)    con g(z) holomorfa

Por lo tanto z/(e^z-1) es analítica y pueden hacer su desarrollo de taylor normal. De allí, pueden ver fácilmente que A = 1, que 
g(z) = -z/2 + B_1 z^2/2! -B_2 z^4/4! + B_3 z^6/6! +...
 así que pueden obtener B_1, B_2 y B_3.

La segunda parte es  demostrar que los términos impares del desarrollo de g(z) salvo el primero, son cero (observen que a pesar de lo atemorizador del desarrollo con las B_i, en realidad, básicamente se pide eso). Para demostrar esto, una forma es ver que h(z)= g(z) +z/2 es una función "par" en el sentido que h(-z) = h(z). Eso se los dejo para trabajar un poco.

Saludos
En respuesta a Eduardo Canale

Re: Cálculo Serie de Laurent

de Agustin Eduardo Rodriguez Esteva -
Desarrollar la exponencial por taylor lo había intentado hacer, pero llegué a una función g(z) un poco distinta:

Asumí g(z) = D(z) / E(z)

Luego continuando la igualdad planteada queda:

{(A * E(z)) + (D(z) * z)}  / { z * E }

Allí propuse que E podría ser el desarrollo de taylor de e^z, luego A=1 y D= - (1/2 + z/6 + z^2 / 24)

Todo esto verifica la igualdad planteada, pero lleva a una g(z) con la que no se puede trabajar mucho más..

¿Cómo obtuviste g(z)?

Muchas gracias!
Saludos
En respuesta a Agustin Eduardo Rodriguez Esteva

Re: Cálculo Serie de Laurent

de Eduardo Canale -
Pero g(z) es analítica ¿cómo vas a suponer que es el cociente de dos funciones?
tendrías que suponer que tiene cierto desarrollo de la forma a_0+a_1z+a2z^2+...