Consulta aplicación de Rouche

Consulta aplicación de Rouche

de Agustin Eduardo Rodriguez Esteva -
Número de respuestas: 2
Estaba repasando los prácticos y me tranqué en un ejercicio del práctico 7:
EJ 7 - Demostrar que los ceros de P(Z) = z^6 + 3 z^2 + i
están en un anillo de radio interno 1/2 y radio exterior 2

Propuse primero encontrar que tiene 6 raíces en el disco de Radio 2 y luego que no tiene ninguna en un disco de Radio 1/2.

Propongo g(z) = z^6 para el disco de radio 2.
La condición de Rouche me queda:

|P(z) - g(z)| = |3z^2 + i| =< 3 |z|^2 + 1
Evalúo para |z| mayor:
3 |z|^2 +1 =< 13

Acá viene mi duda, tengo que demostrar que es menor que |g(z)| = |z|^6
Mi solución fue tomar de vuelta |z| = 2
Pero para z menores la condición no se cumple.., es decir, para z próximo a 0, 3|z|^2 + 1 == 1, lo que es mayor que |z|^6




¿Cómo vendría a ser la solución formal?
En respuesta a Agustin Eduardo Rodriguez Esteva

Re: Consulta aplicación de Rouche

de Eduardo Canale -
Estimado, en el teorema de Rouche, la desigualdad se tiene que verificar para los z en la curva considerada. En tu caso la curva es |z|=2, por lo tanto podrías haber escrito
|P(z) - g(z)| = |3z^2 + i| =< 3 |z|^2 + 1 = 13 
en lugar de  
|P(z) - g(z)| = |3z^2 + i| =< 3 |z|^2 + 1 <= 13.

y además |g(z)| = |z|^6 = 2^6=64 en dicha  curva, por lo que vale (aplicar) perfectamente el teorema.

Saludos.