pr7 ej12 a)

pr7 ej12 a)

de Matias Sebastian Bugna Miranda -
Número de respuestas: 2
No me doy cuenta como sale ésta demostración.
Deformación de curvas no se puede aplicar textual por el z^a
Si uno descompone esa integral como:

\int_{[-R,R]} f(t)dt + \int_{S_R} f(z)dz = \int_{\gamma R} f(z)dz

la curva gamma una semicircunferencia en semiplano inferior de radio R.

En la integral de la derecha por teorema de los residuos queda =2\pi i \sum Res _{Im(z)



La integral en el arco de cfa. es lo que habria que acotar y hacer tender R a infinito y verificar que es cero (es lo que no me sale por deformación de curvas)
Quizás por la desigualdad de Cauchy podes acotarlo y verlo. pero no me salió.

se agradece alguna idea,
En respuesta a Matias Sebastian Bugna Miranda

Re: pr7 ej12 a)

de Bruno Yemini -
Hola, podés adaptar la demostración del lema al caso \lim_{z\rightarrow \infty} z^{\alpha}f(z) = L, hay que tener cuidado al hacer las cuentas, pero basicamente es igual, y llegas a deducir que \lim_{R \rightarrow \infty}\int_{S_R}f(z) = L(e^{i\theta_2 (1-\alpha)} - e^{i \theta_1 (1-\alpha)})

(o algo parecido, no te puedo asegurar que no me haya equivocado en alguna cuenta).

Igual, como en el caso de este ejercicio L = 0, llegas a que \lim_{R \rightarrow \infty}\int_{S_R}f(z)=0, pero bueno, la idea es que hagan la cuenta analogamente al lema de deformación de caminos.