Duda sobre generalización de Cauchy

Duda sobre generalización de Cauchy

de Mariana Silvina González Mastandrea -
Número de respuestas: 1

Cuando generalizamos el teorema de Cauchy para funciones que son holomorfas en un abierto relleno menos en un punto Z0 del mismo, tal que el límite de f(Z)(Z-Z0)=0  cuando z tiende a Z0, concluimos que la integral sobre el borde de cualquier rectángulo incluido en el abierto relleno que no pase por Z0, es cero. 

Esto lo puedo generalizar a cualquier curva cerrada que no pase por el punto? Teniendo en cuenta que puedo subdividir el interior de la curva y aplicar el teorema anterior, así como generalizamos para cualquier curva cuando tengo un abierto relleno donde la función es holomorfa en el mismo?


En respuesta a Mariana Silvina González Mastandrea

Re: Duda sobre generalización de Cauchy

de Juliana Xavier -

Hola! Gracias por la pregunta.  Exactamente. Para probar que la integral de una función holomorfa en un abierto relleno sobre una curva cerrada es 0 (Teorema de Cauchy), utilizamos que es cierto para un rectángulo, y a partir de ahí utilizando poligonales de lados paralelos a los ejes  construimos una primitiva holomorfa para f, y luego por la regla de Barrow se verifica que la integral es 0 porque la curva es cerrada y tiene primitiva. (Si no te suena esto tenés que ver los videos de teórico donde pruebo el Teorema de Cauchy).

La construcción de la primitiva vale exactamente igual para la pequeña generalización, ya que si dos poligonales encierran al punto z0 de todas maneras sus integrales coinciden porque se verifica la pequeña generalización para rectángulos. Se entiende? Entonces al tener primitiva, vale también que la integral sobre curvas cerradas es 0.


Cualquier duda a las órdenes!