seys: Ejercicio 5 - Hoja de ejercicios adicionales

Buenas, tengo una duda del ejercicio 5 de la hoja de ejercicios adicionales.

Dice: B(e^(jΘ)): y[n]= μy[n-1] + λx[n]

a) Calcular la respuesta al impulso

b) Estudiar estabilidad en función de los parámetros (λ y μ)

Para la parte a calculé H(e^(jΘ)) = λ/(1+μe^(-jΘ)), entonces h[n]= λ(-μ)^n si |-μ|<1 (mirando en la tabla).

Luego para la parte b cuando planteo la condición de estabilidad llego a que para que sea estable |-μ|<1 (me queda una serie geométrica), pero esto lo supuse antes para obtener h, entonces no puedo llegar a ninguna condición por este camino.

Este mismo problema tuve en la parte d del ejercicio 1 del práctico 6. Si no tengo información del parámetro puedo usar la antitransformada que está en la tabla?

Gracias.

Re: Ejercicio 5 - Hoja de ejercicios adicionales

de Juan Andres Bazerque Giusto - domingo, 28 de abril de 2019, 23:35

La respuesta al impulso se puede obtener directamente iterando sobre la ecuación en diferencias. Esto es, substituyendo la entrada

$x[n]=\delta[n]$ con la salida en reposo

$y[-1]=0$ (esto lo sabemos al ser el sistema causal) y viendo cómo queda la salida para

$n=0,1,2,...$ . Por ejemplo, para

$n=0$ y

$n=1$ se tiene

$y[0]= \mu y[-1]+\lambda x[0]=\lambda$ y

$y[1]=\mu y[0]+\lambda x[1]=\mu\lambda$ . Si se sigue por inducción completa se llega a

$h[n]=u[n]\lambda \mu^n$ . Esta forma de obtener

$h[n]$ vale para cualquier valor de

$\mu$ y

$\lambda$ .

Usar la DTFT para obtener la respuesta al impulso de la ecuación en diferencias solo es válido bajo la hipótesis de que exista la DTFT, y una condición suficiente para que esto pase es que la respuesta al impulso sea absolutamente sumable. Pero ésta es justamente la condición para que un SLIT sea estable. Por lo tanto puede usarse la DTFT si se sabe que el sistema es estable. Uno podría también poner la estabilidad como hipótesis y comprobarla luego.

En el caso de arriba el sistema es estable para $|\mu|$ como bien planteaste. Si $\mu=2$ u otro valor de modulo mayor a uno, entonces la respuesta al impuso $h[n]=\lambda \mu^n$ no es absolutamente sumable (ni siquiera es acotada), por lo que el sistema no es estable y tampoco converge la DTFT. Pero $h[n]=\lambda \mu^n$ sigue siendo la respuesta al impulso ya que la obtuvimos directamente sin usar la DTFT ni la hipótesis de estabilidad.

Espero que esto aclare la pregunta. Cuando veamos la transformada $Z$ más adelante en el curso tendremos más herramientas para antitransformar sistemas no estables y estudiar casos más generales.

Saludos

Juan Bazerque