MD1-1S: Ej. 11 Práctico 1

Buenas, este ejercicio lo resolví de una manera que no se si está del todo bien y agradecería si alguien pudiese corregirmelo.

El planteo es el siguiente: tengo que demostrar que n+1 se puede escribir como combinacion de 5 y 7.

Es decir, $n+1= 5i' + 7j'$

Luego, por hipótesis: $n = 5i + 7j => n + 1= 5i + 7j + 1$ . Este último resultado se puede escribir como $5i + 7j + 1 -24 +24 = 5(i + 5) +7j -24 = 5(i + 3) + 7(j - 2)$ . Por último llamo $i'=i+3$ y $j'= j-2$ y ya quedaría resuelto. El problema es que no se si j' sería siempre un número natural por lo que me queda la duda de si el ejercicio está bien o no.

Muchas gracias desde ya!

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Eduardo Canale - miércoles, 15 de agosto de 2018, 15:15

Efectivamente, podría suceder que j-2 fuera menor que cero en cuyo caso la demostración no sería correcta.

Tienes que resolver los casos en que j=0 o 1 en forma separada.

Allí usarán que la proposición solo es cierta a partir de cierto valor.

La otra forma, que es mucho más sencilla, es usar inducción fuerte.

Saludos

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Ignacio Cabrera - jueves, 16 de agosto de 2018, 01:54

Muchas gracias Eduardo!

Ahora lo planteé de esta manera (por induccion fuerte):

$n=n-4+4=5i'+7j'+4$

$=> n+1=5i'+7j'+5=5(i'+1)+7j'$ Luego nombro $i''=i'+1$ y $j''=j'$ y ambos son naturales.

Está bien ahora?

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Eduardo Canale - jueves, 16 de agosto de 2018, 09:18

Está bien!

Queda un detalle: estás asumiendo que se cumple para n-4, ¿porque se cumple para n-4?

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Eduardo Canale - jueves, 16 de agosto de 2018, 09:35

Mi pregunta tiene que ver con el o los pasos base.

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Ignacio Cabrera - jueves, 16 de agosto de 2018, 13:01

Basta con verificar que se cumple para los siguientes n a partir de 24, no? Es decir, para 25,26,27,etc y luego considero que se cumple hasta cierto k, no? Luego k-4 (que sería el n-4 que puse) cumple la condición ya que se cumple hasta k

Re: Ej. 11 Práctico 1

de Eduardo Canale - domingo, 19 de agosto de 2018, 14:43

Dos aclaraciones:

1) Cuando decís que "Basta con verificar que se cumple para los siguientes n a partir de 24", eso sería estrictamente hablando el propio resultados, pues "los siguientes a partir" son una cantidad infinita.

2) Si querés que valga el paso inductivo que mencionas (si vale para k vale para k-4), entonces debes asegurarte que si es cierto para k, entonces k-4 no sea negativo.

Creo que el punto 2) es lo que todavía no queda claro en tu demostración