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Sea $A$ y $B$ dos subconjuntos  de n\'umeros  reales tales  que existen  

$sup (A)=\alpha,\quad inf(A\cup B)=\beta\quad \text{ y }\quad inf(B)=\gamma$ Considere las siguientes afirmaciones:

1. $\alpha \geq \beta$
   
2. $A\cap B\subset [\gamma,\alpha]$.
3. $\gamma\geq \beta$

Esas eran las afirmaciones a discutir.

1. $\inf(A\cup B)\leq \inf A\leq \sup A$ donde la primera desigualdad es porque $A\subset A\cup B$ y la segunda por definición de ínfimo y supremo. Entonces la primera afirmación es verdadera.

2. Para que la afirmación sea verdadera hay que probar que: $\inf(A\cap B)\geq \inf B=\gamma$ lo cual es verdadero porque $A\cap B\subset B$ y tambien hay que probar que $\sup A\cap B\leq\sup A=\alpha$ lo cual es verdadero analogamente. Luego la afirmación dos es también verdadera.

3 La tercera afirmación dice $inf B \geq\inf A \cup B$ y esto tambiés es verdadero porque $B\subsetA\cup B$.

Fijate que lo que necesitabas es  saber esta propiedad :

Si $A\subset B$ entonces $\sup A\leq \sup B$ y $inf A\geq \inf B$.