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Lo primero que tenés que hacer es acomodar la ecuación de la elipse para tenerla en la forma $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ para poder reconocer el centro $(x_0,y_0)$ y los parámetros de los semiejes $a$ y $b$. Queremos saber esto porque la parametrización de la elipse en $z=0$ es $\Phi(r,\theta)=(x_0+ar \cos \theta,y_0+br \sin \theta, 0)$.

Si haces las cuentas vas a obtener que la ecuación para la elipse $x^2 + 2y^2 = 1$ es equivalente a $x^2 + \dfrac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 1$, entonces la parametrización en $z=0$ es $\Phi(r,\theta)=(r \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}}r \sin \theta, 0)$.

Vos no querés hacer la elipse en $z=0$, la querés sobre el plano, o sea (despejando de la ecuación del plano) en $z = 1 - x - y$, que si reemplazas $x$ e $y$ por las ecuaciones de $\Phi$ te queda $z = 1-r(\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$

Por último querés la elipse entera, es decir $\theta \in [0,2\pi]$, y si sustituyes $x$ e $y$ en $x^2 + 2y^2 \leq 1$ por las ecuaciones de $\Phi$, vas a obtener que $r^2 \leq 1$, que por tratarse de un radio (valor positivo) nos deja $r \in [0,1]$.

En resumen, la parametrización de la elipse "flotando" en $\mathbb{R}^3$ es:

$\Phi(r,\theta)=(r \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}}r \sin \theta, 1-r(\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta))$ con $\theta \in [0,2\pi]$ y $r \in [0,1]$.

Saludos.