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Hola Agustín, te doy alguna sugerencia.

El corte del conjunto de ecuación $x^2+2y^2\leq 1$ con el plano $z=0$ es una elipse. Podes parametrizar esa elipse, luego esta elipse verla como la proyección del conjunto que te piden calcularle su superficie.

Lo primero que tenés que hacer es acomodar la ecuación de la elipse para tenerla en la forma $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ para poder reconocer el centro $(x_0,y_0)$ y los parámetros de los semiejes $a$ y $b$. Queremos saber esto porque la parametrización de la elipse en $z=0$ es $\Phi(r,\theta)=(x_0+ar \cos \theta,y_0+br \sin \theta, 0)$.

Si haces las cuentas vas a obtener que la ecuación para la elipse $x^2 + 2y^2 = 1$ es equivalente a $x^2 + \dfrac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 1$, entonces la parametrización en $z=0$ es $\Phi(r,\theta)=(r \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}}r \sin \theta, 0)$.

Vos no querés hacer la elipse en $z=0$, la querés sobre el plano, o sea (despejando de la ecuación del plano) en $z = 1 - x - y$, que si reemplazas $x$ e $y$ por las ecuaciones de $\Phi$ te queda $z = 1-r(\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$

Por último querés la elipse entera, es decir $\theta \in [0,2\pi]$, y si sustituyes $x$ e $y$ en $x^2 + 2y^2 \leq 1$ por las ecuaciones de $\Phi$, vas a obtener que $r^2 \leq 1$, que por tratarse de un radio (valor positivo) nos deja $r \in [0,1]$.

En resumen, la parametrización de la elipse "flotando" en $\mathbb{R}^3$ es:

$\Phi(r,\theta)=(r \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}}r \sin \theta, 1-r(\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta))$ con $\theta \in [0,2\pi]$ y $r \in [0,1]$.

Saludos.