Lo que decís no es correcto, me parece a mi que estás confundiendo la "función inversa" con la "inversa de la imagen"... algunas de las cosas que escribiste sí están bien, pero hay errores y operativamente lo veo difícil de aplicar en casos generales. Tal vez si escribieras la variable t de la segunda integral en función de s tendría algo más de sentido... pero para no divagarnos en lo anterior, te propongo lo siguiente:
Considerá la curva dada por 
; parametrizala por longitud de arco utilizando la expresión clásica 
y comparala con el resultado obtenido a través de la expresión que estás proponiendo. ¿Son iguales?
Espero que esto responda a tu pregunta, saludos.