Parametrizar una curva por longitud de arco

Parametrizar una curva por longitud de arco

de Damián Maximiliano Siré Sosa -
Número de respuestas: 1

Para parametrizar por longitud de arco, actualmente realizo este procedimiento:

Dada una curva \alpha(t)

La longitud de arco es s(t) = \int_a^t || \alpha^{'} (t) ||

Por el teorema de la funcion inversa existe t tal que  t^{'}(s) = \frac{1}{ || \alpha^{'}(t)|| }

Como la parametrizacion por longitud de arco es \alpha(t(s)) 

Para hallar t(s) integro:   \int t^{'}(s) ds = \int \frac{1}{ || \alpha^{'}(t)|| } ds

Es el metodo que se debe usar, ¿Cierto?. ¿O existe alguna forma que podamos usar?
En respuesta a Damián Maximiliano Siré Sosa

Re: Parametrizar una curva por longitud de arco

de Juan Morelli -

Lo que decís no es correcto, me parece a mi que estás confundiendo la "función inversa" con la "inversa de la imagen"... algunas de las cosas que escribiste sí están bien, pero hay errores y operativamente lo veo difícil de aplicar en casos generales. Tal vez si escribieras la variable t de la segunda integral en función de s tendría algo más de sentido... pero para no divagarnos en lo anterior, te propongo lo siguiente: 

Considerá la curva dada por  \alpha(t)=(1/2.t ^{2},1) ; parametrizala por longitud de arco utilizando la expresión clásica  s(t)= \int_{0}^{t}{|| \alpha'(u)||.du } y comparala con el resultado obtenido a través de la expresión que estás proponiendo. ¿Son iguales?


Espero que esto responda a tu pregunta, saludos.