Ejercicio 18 parte 3

Re: Ejercicio 18 parte 3

de Florencia Cubria -
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¿Sumando a b c, puedo decir que todo v de V está en S1+S2+S3, que como sólo tienen en común en nulo, son una suma directa  y por lo tanto V es esa suma directa.?

La suma de los subespacios es directa pero no porque solo tengan en común el vector nulo, sino por un resultado del teórico.


Para la parte 4 hay un teorema que dice que  tener el espacio como suma directa de subespacios propios  y ser diagonalizable son equivalentes .

Así es.


Para la parte 5, 

¿Se puede usar esto que pongo acá abajo?

Como el subespacio asociado a cero , o sea el núcleo de la T, 

es    v = T² (v)

y T² tiene los valores propios de T pero al cuadrado,  entonces tiene que tener los valores propios 0 y 1, con lo que  el núcelo de T tiene que tener dimensión por lo menos 2

O sea,  las representaciones diagonales en dimensión 4, son las que  llevan en la diagonal  los elementos  1,-1,0,0   solamente....

La identidad que tienes es T=T³, que no es equivalente a Id=T² ya que la transformación lineal podría no ser invertible (de hecho no lo es pues 0 resulta valor propio).

Por la parte 1 conoces los valores propios, eso da lugar a las posibles formas diagonales.