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A partir del teorema de Gauss, se tiene que

$\int \int \int_{V} \nabla \cdot F dV=\int \int_{S} F\cdot n dS$

siendo $S$ la superficie orientable que limita al sólido $V$.

Como $V=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq z^{2}, 1\leq z\leq 2 \rbrace$, entonces

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}$

Siendo

$S_{1}=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq 4, z=2\rbrace$

$S_{2}=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq 1, z=1\rbrace$

$S_{3}=\lbrace x^{2}+y^{2}=z^{2}, 1\leq z\leq 2\rbrace$

Entonces $\int \int \int_{V} \nabla \cdot F dV=\int \int_{S_{1}} F\cdot n_{1} dS+\int \int_{S_{2}} F\cdot n_{2} dS+\int \int_{S_{3}} F\cdot n_{3} dS$

Para la superficie $S_{1}$, se tiene que la normal es constante para todos los puntos de $S_{1}$ y vale $n_{1}=(0,0,1)$.

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que $S_{1}=\lbrace \rho \leq 2, z=2\rbrace$, por lo que se integra $\theta$ entre $0$ y $2\pi$, y $\rho$ entre $0$ y $2$, con $z=2$.

$\int \int_{S_{1}} F\cdot n_{1} dS=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{1} dS$

$=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (2-2)(2-1)e^{\rho^{2}-2^{2}})\cdot (0,0,1) dS$

$=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, 0)\cdot (0,0,1) dS$

$=0$

Para la superficie $S_{2}$, se tiene que la normal es constante para todos los puntos de $S_{2}$ y vale $n_{2}=(0,0,-1)$.

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que $S_{2}=\lbrace \rho \leq 1, z=1\rbrace$, por lo que se integra $\theta$ entre $0$ y $2\pi$, y $\rho$ entre $0$ y $1$, con $z=1$.

$\int \int_{S_{2}} F\cdot n_{2} dS=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{2} dS$

$=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (1-2)(1-1)e^{\rho^{2}-1^{2}})\cdot (0,0,-1) dS$

$=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, 0)\cdot (0,0,-1) dS$

$=0$

Para la superficie $S_{3}$, se tiene que la normal ya no es constante para todos los puntos de $S_{3}$, y vale $n_{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que $S_{3}=\lbrace \rho=z, 1\leq z\leq 2\rbrace$, por lo que se integra $\theta$ entre $0$ y $2\pi$, y $\rho$ entre $1$ y $2$, con $z=\rho$.

$\int \int_{S_{3}} F\cdot n_{3} dS=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{3} dS$

$=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1)e^{\rho^{2}-\rho^{2}})\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) dS$

$=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1))\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1))\cdot \left(\cos{(\theta)},\sin{(\theta)},-1\right) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos^{2}{(\theta)}+\rho \sin^{2}{(\theta)}-(\rho-2)(\rho-1)) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho-(\rho-2)(\rho-1)) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho-\rho^{2}+\rho+2\rho-2) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (-\rho^{2}+4\rho-2) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} (-\rho^{3}+4\rho^{2}-2\rho) dS$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \int_{1}^{2} (-\rho^{3}+4\rho^{2}-2\rho) d\rho$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left.\left(-\frac{\rho^{4}}{4}+4\frac{\rho^{3}}{3}-2\frac{\rho^{2}}{2}\right)\right|_{1}^{2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-\frac{2^{4}}{4}+4\frac{2^{3}}{3}-2\frac{2^{2}}{2} + \frac{1^{4}}{4}-4\frac{1^{3}}{3}+2\frac{1^{2}}{2}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-4+\frac{32}{3}-4 + \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+1\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-7+\frac{28}{3} + \frac{1}{4}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-\frac{84}{12}+\frac{112}{12} + \frac{3}{12}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(\frac{31}{12}\right)$

$=\frac{31}{12}\sqrt{2}\pi$