Duda

Duda

de Juan Guillermo Belile Cianciarulo -
Número de respuestas: 1

Buenas, estoy trancado en este ejercicio (Feb2015 ej 4), planteando la divergencia e integrando me queda imposible de largo.

Gracias


Adjunto Feb2015ej4.png
En respuesta a Juan Guillermo Belile Cianciarulo

Re: Duda

de Nicolas Santiago Gammarano Lame -

A partir del teorema de Gauss, se tiene que

\int \int \int_{V} \nabla \cdot F dV=\int \int_{S} F\cdot n dS

siendo S la superficie orientable que limita al sólido V.


Como V=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq z^{2}, 1\leq z\leq 2 \rbrace, entonces

S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}

Siendo

S_{1}=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq 4, z=2\rbrace

S_{2}=\lbrace x^{2}+y^{2}\leq 1, z=1\rbrace

S_{3}=\lbrace x^{2}+y^{2}=z^{2}, 1\leq z\leq 2\rbrace


Entonces \int \int \int_{V} \nabla \cdot F dV=\int \int_{S_{1}} F\cdot n_{1} dS+\int \int_{S_{2}} F\cdot n_{2} dS+\int \int_{S_{3}} F\cdot n_{3} dS



Para la superficie S_{1}, se tiene que la normal es constante para todos los puntos de S_{1} y vale n_{1}=(0,0,1).

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que S_{1}=\lbrace \rho \leq 2, z=2\rbrace, por lo que se integra \theta entre 0 y 2\pi, y \rho entre 0 y 2, con z=2.

\int \int_{S_{1}} F\cdot n_{1} dS=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{1} dS

=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (2-2)(2-1)e^{\rho^{2}-2^{2}})\cdot (0,0,1) dS

=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, 0)\cdot (0,0,1) dS

=0



Para la superficie S_{2}, se tiene que la normal es constante para todos los puntos de S_{2} y vale n_{2}=(0,0,-1).

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que S_{2}=\lbrace \rho \leq 1, z=1\rbrace, por lo que se integra \theta entre 0 y 2\pi, y \rho entre 0 y 1, con z=1.

\int \int_{S_{2}} F\cdot n_{2} dS=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{2} dS

=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (1-2)(1-1)e^{\rho^{2}-1^{2}})\cdot (0,0,-1) dS

=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, 0)\cdot (0,0,-1) dS

=0



Para la superficie S_{3}, se tiene que la normal ya no es constante para todos los puntos de S_{3}, y vale n_{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Haciendo cambio de variable a coordenadas polares cilíndricas, se tiene que S_{3}=\lbrace \rho=z, 1\leq z\leq 2\rbrace, por lo que se integra \theta entre 0 y 2\pi, y \rho entre 1 y 2, con z=\rho.

\int \int_{S_{3}} F\cdot n_{3} dS=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho F\cdot n_{3} dS

=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1)e^{\rho^{2}-\rho^{2}})\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) dS

=\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1))\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{(\theta)},\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{(\theta)},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos{(\theta)}, \rho \sin{(\theta)}, (\rho-2)(\rho-1))\cdot \left(\cos{(\theta)},\sin{(\theta)},-1\right) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho \cos^{2}{(\theta)}+\rho \sin^{2}{(\theta)}-(\rho-2)(\rho-1)) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho-(\rho-2)(\rho-1)) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (\rho-\rho^{2}+\rho+2\rho-2) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \rho (-\rho^{2}+4\rho-2) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} (-\rho^{3}+4\rho^{2}-2\rho) dS

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \int_{1}^{2} (-\rho^{3}+4\rho^{2}-2\rho) d\rho

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left.\left(-\frac{\rho^{4}}{4}+4\frac{\rho^{3}}{3}-2\frac{\rho^{2}}{2}\right)\right|_{1}^{2}

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-\frac{2^{4}}{4}+4\frac{2^{3}}{3}-2\frac{2^{2}}{2} + \frac{1^{4}}{4}-4\frac{1^{3}}{3}+2\frac{1^{2}}{2}\right)

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-4+\frac{32}{3}-4 + \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+1\right)

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-7+\frac{28}{3} + \frac{1}{4}\right)

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(-\frac{84}{12}+\frac{112}{12} + \frac{3}{12}\right)

=\frac{\sqrt{2}}{2} 2\pi \left(\frac{31}{12}\right)

=\frac{31}{12}\sqrt{2}\pi

=\frac{31}{6\sqrt{2}}\pi