Hola,
como dice tu compañero, es una aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas. Lo único que tienes que hacer es elegirte un campo cuyo rotor sea constante e igual a 1, por ejemplo F(x,y)=(0,x), como dice Facundo.
*La integral doble del rotor en el área encerrada es igual a la circulación del campo a lo lago de la curva (por Green)
*Como el rotor es 1, la integral del rotor te da el área.
De estas dos cosas se deduce que el área es igual a la circulación del campo (0,x) a lo largo de esa curva (o de cualquier otro campo que tenga rotor 1).
Saludos